Subgroups — #190240

Order 512.

1151 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 430 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄⋊C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20637	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#17349	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8766	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8764	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1303	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#7957	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₄×#41	—	2	1	no	—
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#413	—	2	1	no	—
13	#2351	C₂²	1	2	yes	—
14	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
15	#2349	C₄	1	4	yes	—
16	#2349	C₂²	1	2	yes	—
17	D₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
18	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
19	#2296	—	2	2	no	—
20	#2296	—	2	1	no	—
21	#2285	C₄	1	2	yes	—
22	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1801	—	2	1	no	—
26	#1801	C₂²	1	2	yes	—
27	#1800	—	2	1	no	—
28	#1800	C₂²	1	2	yes	—
29	#1742	—	2	1	no	—
30	#1461	C₂²	1	2	yes	—
31	#1460	C₂²	1	2	yes	—
32	#1459	—	2	2	no	—
33	#1458	—	2	2	no	—
34	#1303	C₂²	1	8	yes	—
35	#1286	C₂²	1	8	yes	—
36	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
38	C₄×#41	—	2	2	no	—
39	C₄×#41	—	2	2	no	—
40	C₄×#41	—	2	2	no	—
41	C₄×#41	—	2	2	no	—
42	C₄×#41	—	4	4	no	—
43	C₄×#41	—	4	4	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#117	—	2	2	no	—
54	C₂×#117	—	2	1	no	—
55	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
59	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
61	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#431	—	2	2	no	—
64	#431	—	2	2	no	—
65	#431	—	2	2	no	—
66	#431	C₂³	1	4	yes	—
67	#423	—	2	2	no	—
68	#423	—	2	2	no	—
69	#423	—	2	2	no	—
70	#423	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
74	#413	—	4	4	no	—
75	C₂×#101	—	2	2	no	—
76	C₂×#100	—	2	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
79	#389	—	2	4	no	—
80	#389	—	2	2	no	—
81	#389	—	2	4	no	—
82	#389	—	2	2	no	—
83	#385	—	2	4	no	—
84	#385	—	2	4	no	—
85	#385	—	2	4	no	—
86	#384	—	2	2	no	—
87	#384	—	2	1	no	—
88	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	#382	C₂³	1	2	yes	—
90	#380	—	2	2	no	—
91	#380	—	2	1	no	—
92	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
94	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
97	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
100	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
101	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
107	#343	—	2	2	no	—
108	#343	—	2	2	no	—
109	#324	—	2	4	no	—
110	#323	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	4	no	—
114	C₂×#41	D₈	1	4	yes	—
115	C₂×#41	SD₁₆	1	4	yes	—
116	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
133	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
138	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
139	C₄×D₄	—	2	4	no	—
140	C₄×D₄	—	2	4	no	—
141	C₄×D₄	—	2	4	no	—
142	C₄×D₄	—	2	4	no	—
143	C₄×D₄	—	2	2	no	—
144	C₄×D₄	—	2	2	no	—
145	C₄×D₄	—	2	2	no	—
146	C₄×D₄	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	4	16	no	—
148	C₄×D₄	—	4	4	no	—
149	C₄×D₄	—	4	4	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	—	2	2	no	—
152	#117	—	2	4	no	—
153	#117	—	2	4	no	—
154	#117	—	4	8	no	—
155	#117	—	4	2	no	—
156	#117	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
187	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
189	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
203	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
204	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
205	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
206	#101	—	4	4	no	—
207	#100	—	4	4	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
210	C₄×C₈	—	2	4	no	—
211	C₄×C₈	—	4	2	no	—
212	#95	—	2	4	no	—
213	#95	—	2	2	no	—
214	#95	—	2	4	no	—
215	#95	—	2	2	no	—
216	#95	C₂²×C₄	1	2	yes	—
217	#95	C₂²×C₄	1	4	yes	—
218	#95	C₂²×C₄	1	2	yes	—
219	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	#41	—	2	8	no	—
222	#41	—	2	8	no	—
223	#41	—	2	8	no	—
224	#41	—	2	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
227	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
228	C₂×Q₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×D₄	#102	1	8	yes	—
234	C₂×D₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
235	C₂×D₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
256	C₂²×C₄	#102	1	8	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	M₁₆	—	4	4	no	—
276	M₁₆	—	4	4	no	—
277	M₁₆	—	8	4	no	—
278	C₂×C₈	—	4	4	no	—
279	C₂×C₈	—	4	4	no	—
280	C₂×C₈	—	8	4	no	—
281	C₂×C₈	—	8	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	2	2	no	—
303	C₄²	—	2	2	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	2	2	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	—	4	2	no	—
308	C₄²	—	4	2	no	—
309	C₄²	—	4	2	no	—
310	C₄²	—	4	4	no	—
311	C₄²	—	4	2	no	—
312	C₄²	—	4	8	no	—
313	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
316	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	#123	1	2	yes	—
318	C₄²	#123	1	2	yes	—
319	C₄²	#123	1	2	yes	—
320	C₄²	#123	1	2	yes	—
321	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
322	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
323	C₂³	—	2	2	no	—
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	4	1	no	—
326	C₂³	—	4	1	no	—
327	C₂³	—	4	2	no	—
328	C₂³	—	4	2	no	—
329	C₂³	#381	1	2	yes	—
330	C₂³	C₂×#102	1	4	yes	—
331	C₂³	C₂×#102	1	2	yes	—
332	C₂³	#419	1	2	yes	—
333	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
334	Q₈	—	2	4	no	—
335	Q₈	—	2	4	no	—
336	D₄	—	2	16	no	—
337	D₄	—	2	4	no	—
338	D₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	8	no	—
342	C₂×C₄	—	2	8	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	1	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	1	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	—	8	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	8	no	—
369	C₂×C₄	—	8	16	no	—
370	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#381	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#419	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#480	1	4	yes	—
379	C₂×C₄	#480	1	4	yes	—
380	C₂×C₄	#483	1	4	yes	—
381	C₂×C₄	#483	1	4	yes	—
382	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
389	C₈	—	8	4	no	—
390	C₈	—	8	4	no	—
391	C₂²	—	2	1	no	—
392	C₂²	—	2	2	no	—
393	C₂²	—	2	1	no	—
394	C₂²	—	2	2	no	—
395	C₂²	—	2	4	no	—
396	C₂²	—	4	2	no	—
397	C₂²	—	4	2	no	—
398	C₂²	—	4	4	no	—
399	C₂²	—	4	4	no	—
400	C₂²	—	4	2	no	—
401	C₂²	—	4	2	no	—
402	C₂²	#1823	1	4	yes	—
403	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
406	C₄	—	2	4	no	—
407	C₄	—	2	2	no	—
408	C₄	—	2	1	no	—
409	C₄	—	2	1	no	—
410	C₄	—	2	1	no	—
411	C₄	—	2	2	no	—
412	C₄	—	4	4	no	—
413	C₄	—	4	2	no	—
414	C₄	—	4	2	no	—
415	C₄	—	8	2	no	—
416	C₄	—	8	4	no	—
417	C₄	#1823	1	2	yes	—
418	C₄	#1823	1	2	yes	—
419	C₄	#1827	1	2	yes	—
420	C₄	C₂×#480	1	2	yes	—
421	C₄	C₂×#483	1	2	yes	—
422	C₂	—	2	1	no	—
423	C₂	—	2	1	no	—
424	C₂	—	2	4	no	—
425	C₂	—	4	4	no	—
426	C₂	C₂×#1823	1	1	yes	characteristic
427	C₂	C₂×#1827	1	1	yes	characteristic
428	C₂	#20713	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#381
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#381
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #8766	C₂	semidirect
5. #8764	C₂	semidirect
6. C₂×#1303	C₂	semidirect
7. #7957	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄⋊C₄×#41	2
#20637	2
#17349	2
#8766	2
#8764	2
C₂×#1303	2
#7957	2