Subgroups — #190261

Order 512.

1233 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 367 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34181	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1800	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1460	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8765	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#8095	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#7957	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#518	—	2	1	no	—
8	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#100	—	2	1	no	—
12	#2349	C₄	1	4	yes	—
13	#2349	C₂²	1	4	yes	—
14	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
15	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
16	#2316	—	2	1	no	—
17	#2315	—	2	2	no	—
18	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#380	C₄	1	4	yes	—
21	#1800	—	2	2	no	—
22	#1800	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#343	—	2	1	no	—
24	#1460	—	2	2	no	—
25	#1460	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#323	—	2	2	no	—
27	#1303	C₂²	1	8	yes	complemented
28	#1286	C₂²	1	8	yes	complemented
29	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
32	#518	—	4	8	no	—
33	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
34	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×#117	—	2	1	no	—
44	C₂×#117	—	2	1	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#431	—	2	2	no	—
51	#431	—	2	2	no	—
52	#431	—	2	2	no	—
53	#431	C₂³	1	4	yes	—
54	#423	—	2	2	no	—
55	#423	—	2	2	no	—
56	#423	—	2	2	no	—
57	#423	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×#100	—	2	4	no	—
62	C₂×#100	—	4	4	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
65	#389	—	2	4	no	—
66	#389	—	2	4	no	—
67	#385	—	2	8	no	—
68	#385	—	2	8	no	—
69	#384	—	2	1	no	—
70	#384	—	2	1	no	—
71	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#382	C₂³	1	2	yes	—
73	#380	—	2	4	no	—
74	#380	—	2	4	no	—
75	#380	—	2	1	no	—
76	#380	—	2	1	no	—
77	#380	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
85	#343	—	2	4	no	—
86	#323	—	2	8	no	—
87	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
92	C₂²×D₄	SD₁₆	1	4	yes	—
93	C₂²×D₄	Q₁₆	1	4	yes	—
94	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
101	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
113	C₄×D₄	—	2	4	no	—
114	C₄×D₄	—	2	4	no	—
115	C₄×D₄	—	2	4	no	—
116	C₄×D₄	—	2	4	no	—
117	C₄×D₄	—	2	4	no	—
118	C₄×D₄	—	2	4	no	—
119	C₄×D₄	—	2	4	no	—
120	C₄×D₄	—	2	4	no	—
121	C₄×D₄	—	4	16	no	—
122	C₄×D₄	—	4	16	no	—
123	#117	—	4	4	no	—
124	#117	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
159	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
160	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
161	#100	—	4	8	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
163	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
164	C₄×C₈	—	2	4	no	—
165	C₄×C₈	—	4	2	no	—
166	#95	—	2	8	no	—
167	#95	—	2	2	no	—
168	#95	—	2	2	no	—
169	#95	C₂²×C₄	1	4	yes	—
170	#95	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	C₂⁴	—	2	2	no	—
172	C₂⁴	—	2	2	no	—
173	C₂⁴	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	—	8	2	no	—
175	C₂⁴	—	8	2	no	—
176	C₂⁴	#103	1	8	yes	—
177	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
178	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	2	8	no	—
184	C₂×D₄	—	2	8	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	#103	1	8	yes	—
188	C₂×D₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
189	C₂×D₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
201	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
204	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	M₁₆	—	4	4	no	—
229	M₁₆	—	4	4	no	—
230	M₁₆	—	8	4	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	—	4	4	no	—
233	C₂×C₈	—	8	4	no	—
234	C₂×C₈	—	8	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₄²	—	4	4	no	—
250	C₄²	—	4	4	no	—
251	C₄²	#117	1	2	yes	—
252	C₄²	#117	1	2	yes	—
253	C₄²	#123	1	2	yes	—
254	C₄²	#123	1	2	yes	—
255	C₄²	#123	1	2	yes	—
256	C₄²	#123	1	2	yes	—
257	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
258	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	8	no	—
262	C₂³	—	2	8	no	—
263	C₂³	—	4	1	no	—
264	C₂³	—	4	1	no	—
265	C₂³	—	4	4	no	—
266	C₂³	—	4	4	no	—
267	C₂³	—	8	2	no	—
268	C₂³	—	8	2	no	—
269	C₂³	—	8	2	no	—
270	C₂³	—	8	2	no	—
271	C₂³	—	8	8	no	—
272	C₂³	—	8	8	no	—
273	C₂³	#381	1	1	yes	characteristic
274	C₂³	#381	1	1	yes	characteristic
275	C₂³	C₂×#103	1	8	yes	—
276	C₂³	C₂×#103	1	2	yes	—
277	C₂³	#418	1	2	yes	—
278	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
279	D₄	—	2	8	no	—
280	D₄	—	2	8	no	—
281	D₄	—	2	16	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	1	no	—
287	C₂×C₄	—	4	1	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	1	no	—
290	C₂×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	1	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	8	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	8	4	no	—
303	C₂×C₄	—	8	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	16	16	no	—
307	C₂×C₄	#381	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#381	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×#103	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#418	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#481	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	#481	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#484	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#484	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
324	C₈	—	8	4	no	—
325	C₈	—	8	4	no	—
326	C₂²	—	2	1	no	—
327	C₂²	—	2	1	no	—
328	C₂²	—	2	1	no	—
329	C₂²	—	2	1	no	—
330	C₂²	—	2	1	no	—
331	C₂²	—	2	1	no	—
332	C₂²	—	2	8	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	8	no	—
336	C₂²	—	4	8	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	8	8	no	—
340	C₂²	—	8	8	no	—
341	C₂²	#1824	1	2	yes	—
342	C₂²	#1824	1	2	yes	—
343	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	2	1	no	—
349	C₄	—	2	1	no	—
350	C₄	—	2	1	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	8	4	no	—
353	C₄	—	8	4	no	—
354	C₄	#1824	1	4	yes	—
355	C₄	#1829	1	2	yes	—
356	C₄	C₂×#481	1	2	yes	—
357	C₄	C₂×#484	1	2	yes	—
358	C₂	—	2	1	no	—
359	C₂	—	2	1	no	—
360	C₂	—	2	2	no	—
361	C₂	—	2	2	no	—
362	C₂	—	4	8	no	—
363	C₂	C₂×#1824	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#20708	1	1	yes	characteristic
365	C₂	C₂×#1829	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#381
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #8765	C₂	semidirect
5. #8095	C₂	semidirect
6. #7957	C₂	semidirect
27. #1303	C₂²	semidirect
28. #1286	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34181	2
C₂×#1800	2
C₂×#1460	2
#8765	2
#8095	2
#7957	2