Subgroups — #190686

Order 512.

1248 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20808	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#8728	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#8587	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8585	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8344	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×#333	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#331	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×#41	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×#431	—	2	2	no	—
12	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×#124	C₄	1	2	yes	—
17	C₄×#124	C₄	1	2	yes	—
18	C₄×#121	—	2	2	no	—
19	C₄×#121	—	2	2	no	—
20	#2297	C₄	1	2	yes	—
21	#2293	—	2	2	no	—
22	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄²×D₄	—	2	2	no	—
24	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1842	C₂²	1	4	yes	—
26	#1831	—	2	2	no	—
27	#1797	—	2	2	no	—
28	#1797	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
30	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
33	#1296	C₂²	1	4	yes	—
34	#1296	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	#532	—	2	4	no	—
37	#532	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×#121	—	2	2	no	—
42	C₄×#41	—	4	8	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×#117	—	2	2	no	—
53	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#431	—	4	8	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
66	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	#390	—	2	2	no	—
69	#390	—	2	2	no	—
70	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#389	—	2	2	no	—
73	#389	—	2	2	no	—
74	#388	—	2	4	no	—
75	#388	—	2	4	no	—
76	#386	—	2	4	no	—
77	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#380	—	2	2	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₄³	D₄	1	2	yes	—
90	C₄³	D₄	1	2	yes	—
91	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#336	—	2	4	no	—
94	#336	—	2	4	no	—
95	#333	—	2	8	no	—
96	#331	—	2	8	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	—	4	4	no	—
100	C₂×#41	—	4	4	no	—
101	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
114	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
115	C₄⋊Q₈	#41	1	4	yes	—
116	#127	—	2	2	no	—
117	#127	#41	1	4	yes	—
118	#124	—	2	4	no	—
119	#124	—	2	4	no	—
120	#121	—	2	16	no	—
121	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
122	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
123	C₄×D₄	—	2	16	no	—
124	C₄×D₄	—	4	4	no	—
125	C₄×D₄	—	4	4	no	—
126	C₄×D₄	—	4	8	no	—
127	C₄×D₄	—	4	8	no	—
128	C₄×D₄	—	4	8	no	—
129	C₄×D₄	—	4	4	no	—
130	C₄×D₄	—	4	4	no	—
131	#117	—	4	8	no	—
132	#117	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
157	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
177	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
178	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
180	C₄×C₈	—	4	8	no	—
181	#95	—	2	4	no	—
182	#95	—	2	4	no	—
183	#95	—	2	4	no	—
184	C₂⁴	—	2	2	no	—
185	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
186	#41	—	4	16	no	—
187	#41	—	4	16	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	#117	1	4	yes	—
192	C₂×D₄	—	2	8	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	—	4	8	no	—
239	C₂×C₈	—	4	8	no	—
240	C₂×C₈	—	4	8	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
255	C₄²	—	2	1	no	—
256	C₄²	—	2	1	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	2	2	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	4	2	no	—
269	C₄²	—	4	1	no	—
270	C₄²	—	4	1	no	—
271	C₄²	—	4	4	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₄²	—	4	4	no	—
274	C₄²	#100	1	4	yes	—
275	C₄²	#135	1	8	yes	—
276	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
277	C₄²	#137	1	4	yes	—
278	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
279	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	1	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	2	no	—
287	C₂³	—	4	4	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	#413	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
291	Q₈	—	4	4	no	—
292	Q₈	—	4	4	no	—
293	D₄	—	4	4	no	—
294	D₄	—	4	4	no	—
295	D₄	—	4	16	no	—
296	D₄	—	4	8	no	—
297	D₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	16	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	16	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	8	no	—
329	C₂×C₄	—	8	8	no	—
330	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
343	C₈	—	8	8	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	1	no	—
348	C₂²	—	4	1	no	—
349	C₂²	—	4	8	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	8	2	no	—
352	C₂²	—	8	4	no	—
353	C₂²	—	8	2	no	—
354	C₂²	#2280	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#416	1	2	yes	—
358	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	2	4	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	1	no	—
363	C₄	—	2	1	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	4	1	no	—
366	C₄	—	4	1	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	8	2	no	—
369	C₄	—	8	2	no	—
370	C₄	#1543	1	4	yes	—
371	C₄	#1560	1	4	yes	—
372	C₄	#3106	1	4	yes	—
373	C₄	#3107	1	4	yes	—
374	C₂	—	4	2	no	—
375	C₂	—	8	4	no	—
376	C₂	C₂×#1543	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#17719	1	2	yes	—
378	C₂	C₂×#1560	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#20726	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#20737	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20808	C₂	semidirect
3. #8728	C₂	semidirect
4. #8587	C₂	semidirect
5. #8585	C₂	semidirect
7. C₄×#333	C₂	semidirect
8. C₄×#331	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#532	2
#20808	2
#8728	2
#8587	2
#8585	2
#8344	2
C₄×#333	2
C₄×#331	2