Subgroups — C₂₃×#8353 #19155979

Order 5888.

1054 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂₃×#3496	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂₃×#1954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂₃×#1800	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂₃×#1547	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂₃×#1492	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×C₂₃×H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
7	C₂₃×#547	—	2	2	no	—
8	C₂₃×#546	—	2	4	no	—
9	D₄²×C₂₃	—	2	2	no	—
10	C₂₃×#537	—	2	1	no	—
11	C₂₃×#534	C₄	1	4	yes	—
12	C₂₃×#532	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₂₃×#121	—	2	2	no	—
14	C₂×C₄×D₄×C₂₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂₃×#423	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂×C₂₃×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂×C₂₃×#100	—	2	1	no	—
18	C₂×C₂₃×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
19	C₂×C₄×C₈×C₂₃	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂₃×#343	—	2	1	no	—
21	C₂₃×#332	—	2	2	no	—
22	C₂₃×#331	—	2	2	no	—
23	C₂₃×D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
24	C₂₃×H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
25	C₂₃×H(5,𝔽₂)	—	4	2	no	—
26	C₂₃×H(5,𝔽₂)	—	4	2	no	—
27	C₂×#41×C₂₃	—	2	4	no	—
28	C₂×#41×C₂₃	—	2	2	no	—
29	C₂²×D₄×C₂₃	—	2	4	no	—
30	C₂²×D₄×C₂₃	—	2	4	no	—
31	C₂²×D₄×C₂₃	—	2	2	no	—
32	C₂²×D₄×C₂₃	D₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₄×C₂₃	D₄	1	2	yes	—
34	C₂×M₁₆×C₂₃	—	2	2	no	—
35	C₂²×C₈×C₂₃	—	2	1	no	—
36	C₂²×C₈×C₂₃	—	2	1	no	—
37	C₂₃×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
38	C₂₃×#127	D₄	1	2	yes	—
39	C₂₃×#124	—	2	2	no	—
40	C₂₃×#123	—	2	8	no	—
41	C₂₃×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
42	C₂₃×#121	—	2	4	no	—
43	C₂₃×#121	—	2	4	no	—
44	C₂₃×#121	—	2	4	no	—
45	C₂₃×#121	—	2	4	no	—
46	C₂₃×#121	—	2	2	no	—
47	C₂₃×#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂₃×#120	—	2	8	no	—
49	C₄×D₄×C₂₃	—	2	2	no	—
50	C₄×D₄×C₂₃	—	2	2	no	—
51	C₄×D₄×C₂₃	—	2	2	no	—
52	C₄×D₄×C₂₃	D₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
56	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄²×C₂₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂₃×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂₃×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂₃×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
61	C₂₃×#100	—	4	2	no	—
62	C₂₃×C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
63	C₄×C₈×C₂₃	—	2	2	no	—
64	C₂⁴×C₂₃	—	2	4	no	—
65	C₂⁴×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
66	#41×C₂₃	—	4	8	no	—
67	#41×C₂₃	—	4	8	no	—
68	#41×C₂₃	—	4	2	no	—
69	#41×C₂₃	—	4	2	no	—
70	#41×C₂₃	—	4	2	no	—
71	#41×C₂₃	—	4	2	no	—
72	C₂×Q₈×C₂₃	—	2	2	no	—
73	C₂×D₄×C₂₃	—	2	8	no	—
74	C₂×D₄×C₂₃	—	2	4	no	—
75	C₂×D₄×C₂₃	—	2	4	no	—
76	C₂×D₄×C₂₃	—	2	2	no	—
77	C₂×D₄×C₂₃	—	2	2	no	—
78	C₂×D₄×C₂₃	—	2	2	no	—
79	C₂×D₄×C₂₃	—	2	2	no	—
80	C₂×D₄×C₂₃	—	4	8	no	—
81	C₂×D₄×C₂₃	—	4	8	no	—
82	C₂×D₄×C₂₃	—	4	8	no	—
83	C₂×D₄×C₂₃	—	4	8	no	—
84	C₂×D₄×C₂₃	—	8	2	no	—
85	C₂×D₄×C₂₃	—	8	2	no	—
86	C₂×D₄×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
87	C₂×D₄×C₂₃	D₈	1	2	yes	—
88	C₂×D₄×C₂₃	SD₁₆	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
94	C₂²×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
95	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄×C₂₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₄×C₂₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	M₁₆×C₂₃	—	4	2	no	—
100	M₁₆×C₂₃	—	4	2	no	—
101	C₂×C₈×C₂₃	—	2	2	no	—
102	C₂×C₈×C₂₃	—	4	1	no	—
103	C₂×C₈×C₂₃	—	4	1	no	—
104	C₂×C₈×C₂₃	—	4	2	no	—
105	C₂×C₈×C₂₃	—	4	1	no	—
106	C₂×C₈×C₂₃	—	4	2	no	—
107	C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
108	C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
109	C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
110	C₄⋊C₄×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₂²⋊C₄×C₂₃	—	2	8	no	—
112	C₂²⋊C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
113	C₂²⋊C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
114	C₂²⋊C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
115	C₄²×C₂₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₄²×C₂₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	#8353	C₂₃	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
118	C₂³×C₂₃	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₂₃	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₂₃	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₂₃	—	4	2	no	—
122	C₂³×C₂₃	—	4	2	no	—
123	C₂³×C₂₃	—	4	8	no	—
124	C₂³×C₂₃	—	8	4	no	—
125	C₂³×C₂₃	—	8	4	no	—
126	C₂³×C₂₃	#102	1	4	yes	—
127	C₂³×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
128	Q₈×C₂₃	—	4	2	no	—
129	Q₈×C₂₃	—	4	2	no	—
130	D₄×C₂₃	—	2	4	no	—
131	D₄×C₂₃	—	2	4	no	—
132	D₄×C₂₃	—	4	4	no	—
133	D₄×C₂₃	—	4	16	no	—
134	D₄×C₂₃	—	4	4	no	—
135	D₄×C₂₃	—	4	4	no	—
136	D₄×C₂₃	—	4	2	no	—
137	D₄×C₂₃	—	4	2	no	—
138	D₄×C₂₃	—	4	2	no	—
139	D₄×C₂₃	—	4	2	no	—
140	D₄×C₂₃	—	8	4	no	—
141	C₂×C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄×C₂₃	—	4	1	no	—
146	C₂×C₄×C₂₃	—	4	8	no	—
147	C₂×C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄×C₂₃	—	8	2	no	—
153	C₂×C₄×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄×C₂₃	#120	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄×C₂₃	#120	1	2	yes	—
156	C₂×C₄×C₂₃	#120	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄×C₂₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄×C₂₃	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄×C₂₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
160	C₈×C₂₃	—	4	2	no	—
161	C₈×C₂₃	—	8	2	no	—
162	C₈×C₂₃	—	8	1	no	—
163	#3496	C₂×C₂₃	1	1	yes	characteristic
164	#1954	C₂×C₂₃	1	1	yes	characteristic, complemented
165	#1800	C₂×C₂₃	1	1	yes	characteristic, complemented
166	#1547	C₂×C₂₃	1	2	yes	complemented
167	#1492	C₂×C₂₃	1	2	yes	complemented
168	C₂²×C₂₃	—	2	1	no	—
169	C₂²×C₂₃	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₂₃	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₂₃	—	4	4	no	—
172	C₂²×C₂₃	—	4	2	no	—
173	C₂²×C₂₃	—	4	2	no	—
174	C₂²×C₂₃	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₂₃	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₂₃	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₂₃	—	8	2	no	—
178	C₂²×C₂₃	—	16	8	no	—
179	C₂²×C₂₃	#379	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₂₃	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₂₃	#418	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
183	C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
184	C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
185	C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
186	C₄×C₂₃	#447	1	2	yes	—
187	C₄×C₂₃	#450	1	2	yes	—
188	C₄×C₂₃	#453	1	1	yes	characteristic
189	C₄×C₂₃	#455	1	1	yes	characteristic
190	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
191	#547	—	2	2	no	—
192	#546	—	2	4	no	—
193	D₄²	—	2	2	no	—
194	#537	—	2	1	no	—
195	#534	C₄×C₂₃	1	4	yes	—
196	#532	C₂²×C₂₃	1	2	yes	—
197	C₂×#121	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄×D₄	C₂²×C₂₃	1	1	yes	characteristic
199	#423	C₂²×C₂₃	1	2	yes	complemented
200	C₂×C₄⋊C₈	C₂²×C₂₃	1	1	yes	characteristic, complemented
201	C₂×#100	—	2	1	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄×C₈	C₂²×C₂₃	1	1	yes	characteristic, complemented
204	#343	—	2	1	no	—
205	#332	—	2	2	no	—
206	#331	—	2	2	no	—
207	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
208	C₂×C₂₃	—	2	1	no	—
209	C₂×C₂₃	—	2	1	no	—
210	C₂×C₂₃	—	4	4	no	—
211	C₂×C₂₃	—	8	4	no	—
212	C₂×C₂₃	#1786	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₂₃	#1791	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₂₃	#1792	1	1	yes	characteristic
215	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
216	H(5,𝔽₂)	—	4	2	no	—
217	H(5,𝔽₂)	—	4	2	no	—
218	C₂×#41	—	2	4	no	—
219	C₂×#41	—	2	2	no	—
220	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×D₄	D₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
224	C₂³×C₄	D₄×C₂₃	1	2	yes	—
225	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
228	C₄⋊Q₈	D₄×C₂₃	1	2	yes	—
229	#127	D₄×C₂₃	1	2	yes	—
230	#124	—	2	2	no	—
231	#123	—	2	8	no	—
232	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
233	#121	—	2	4	no	—
234	#121	—	2	4	no	—
235	#121	—	2	4	no	—
236	#121	—	2	4	no	—
237	#121	—	2	2	no	—
238	#121	C₂×C₄×C₂₃	1	4	yes	—
239	#120	—	2	8	no	—
240	C₄×D₄	—	2	2	no	—
241	C₄×D₄	—	2	2	no	—
242	C₄×D₄	—	2	2	no	—
243	C₄×D₄	D₄×C₂₃	1	4	yes	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	D₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₂₃	1	2	yes	—
248	C₂×C₄²	C₂³×C₂₃	1	1	yes	characteristic
249	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
252	#100	—	4	2	no	—
253	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
254	C₄×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂₃	#8353	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
256	C₂⁴	—	2	4	no	—
257	C₂⁴	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
258	#41	—	4	8	no	—
259	#41	—	4	8	no	—
260	#41	—	4	2	no	—
261	#41	—	4	2	no	—
262	#41	—	4	2	no	—
263	#41	—	4	2	no	—
264	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
265	C₂×D₄	—	2	8	no	—
266	C₂×D₄	—	2	4	no	—
267	C₂×D₄	—	2	4	no	—
268	C₂×D₄	—	2	2	no	—
269	C₂×D₄	—	2	2	no	—
270	C₂×D₄	—	2	2	no	—
271	C₂×D₄	—	2	2	no	—
272	C₂×D₄	—	4	8	no	—
273	C₂×D₄	—	4	8	no	—
274	C₂×D₄	—	4	8	no	—
275	C₂×D₄	—	4	8	no	—
276	C₂×D₄	—	8	2	no	—
277	C₂×D₄	—	8	2	no	—
278	C₂×D₄	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	4	yes	—
279	C₂×D₄	D₈×C₂₃	1	2	yes	—
280	C₂×D₄	SD₁₆×C₂₃	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
291	M₁₆	—	4	2	no	—
292	M₁₆	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	4	1	no	—
295	C₂×C₈	—	4	1	no	—
296	C₂×C₈	—	4	2	no	—
297	C₂×C₈	—	4	1	no	—
298	C₂×C₈	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	4	yes	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₄²	C₂×D₄×C₂₃	1	2	yes	—
308	C₄²	C₂×D₄×C₂₃	1	2	yes	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	2	4	no	—
312	C₂³	—	4	2	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	8	no	—
315	C₂³	—	8	4	no	—
316	C₂³	—	8	4	no	—
317	C₂³	C₂₃×#102	1	4	yes	—
318	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
319	Q₈	—	4	2	no	—
320	Q₈	—	4	2	no	—
321	D₄	—	2	4	no	—
322	D₄	—	2	4	no	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	D₄	—	4	16	no	—
325	D₄	—	4	4	no	—
326	D₄	—	4	4	no	—
327	D₄	—	4	2	no	—
328	D₄	—	4	2	no	—
329	D₄	—	4	2	no	—
330	D₄	—	4	2	no	—
331	D₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	1	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	1	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂₃×#120	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂₃×#120	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂₃×#120	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×D₈×C₂₃	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×SD₁₆×C₂₃	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂₃×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
351	C₈	—	4	2	no	—
352	C₈	—	8	2	no	—
353	C₈	—	8	1	no	—
354	C₂²	—	2	1	no	—
355	C₂²	—	2	1	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	8	2	no	—
364	C₂²	—	16	8	no	—
365	C₂²	C₂₃×#379	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×C₂₃×#102	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂₃×#418	1	1	yes	characteristic
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	2	1	no	—
370	C₄	—	4	4	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	C₂₃×#447	1	2	yes	—
373	C₄	C₂₃×#450	1	2	yes	—
374	C₄	C₂₃×#453	1	1	yes	characteristic
375	C₄	C₂₃×#455	1	1	yes	characteristic
376	C₂	—	2	1	no	—
377	C₂	—	2	1	no	—
378	C₂	—	4	4	no	—
379	C₂	—	8	4	no	—
380	C₂	C₂₃×#1786	1	1	yes	characteristic
381	C₂	C₂₃×#1791	1	1	yes	characteristic
382	C₂	C₂₃×#1792	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²×C₂₃	#379
commutator	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₂₃
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂³×C₂₃
prime radical	C₂₃×#3496	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₂₃ ◁ C₂×C₄²×C₂₃ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂₃×#1954	C₂	semidirect
3. C₂₃×#1800	C₂	semidirect
4. C₂₃×#1547	C₂	semidirect
5. C₂₃×#1492	C₂	semidirect
15. C₂₃×#423	C₂²	semidirect
16. C₂×C₂₃×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
19. C₂×C₄×C₈×C₂₃	C₂²	semidirect
117. #8353	C₂₃	direct (N × H)
164. #1954	C₂×C₂₃	semidirect
165. #1800	C₂×C₂₃	semidirect
166. #1547	C₂×C₂₃	semidirect
167. #1492	C₂×C₂₃	semidirect
199. #423	C₂²×C₂₃	semidirect
200. C₂×C₄⋊C₈	C₂²×C₂₃	semidirect
203. C₂×C₄×C₈	C₂²×C₂₃	semidirect
255. C₂₃	#8353	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂₃×#3496	2
C₂₃×#1954	2
C₂₃×#1800	2
C₂₃×#1547	2
C₂₃×#1492	2
#8353	23

Subgroups — C23×#8353 #19155979

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂₃×#8353 #19155979