Subgroups — C₂₃×#8385 #19156011

Order 5888.

1050 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₂₃×#550	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂₃×#1800	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂₃×#1545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂₃×#1487	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂₃×#1460	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#41×C₂₃	C₄	1	2	yes	—
7	C₂₃×#550	—	2	4	no	—
8	C₂₃×#550	—	2	4	no	—
9	C₂×C₂₃×#127	—	2	1	no	—
10	C₂×C₂₃×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₂₃×#121	—	2	2	no	—
12	C₂×C₂₃×#121	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×Q₈×C₂₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₄×C₂₃	—	2	1	no	—
15	C₂×C₄×D₄×C₂₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂₃×#431	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂₃×#423	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₂₃×#100	—	2	1	no	—
19	C₂₃×#343	—	2	1	no	—
20	C₂₃×#331	—	2	4	no	—
21	C₂₃×Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
22	C₂₃×#323	—	2	2	no	—
23	C₂×#41×C₂₃	—	2	4	no	—
24	C₂×#41×C₂₃	—	2	4	no	—
25	C₂×#41×C₂₃	—	4	8	no	—
26	C₂²×Q₈×C₂₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×D₄×C₂₃	—	2	2	no	—
28	C₂²×D₄×C₂₃	—	2	2	no	—
29	C₂²×D₄×C₂₃	—	2	1	no	—
30	C₂²×D₄×C₂₃	—	2	1	no	—
31	C₂²×D₄×C₂₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂²×D₄×C₂₃	D₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
34	C₂³×C₄×C₂₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂×M₁₆×C₂₃	—	2	2	no	—
36	C₂₃×#127	—	2	8	no	—
37	C₂₃×#127	—	2	2	no	—
38	C₂₃×#127	D₄	1	4	yes	—
39	C₂₃×#121	—	2	16	no	—
40	C₂₃×#121	—	2	4	no	—
41	C₂₃×#121	—	2	4	no	—
42	C₄×Q₈×C₂₃	—	2	2	no	—
43	C₄×Q₈×C₂₃	D₄	1	4	yes	—
44	C₄×D₄×C₂₃	—	2	8	no	—
45	C₄×D₄×C₂₃	—	2	2	no	—
46	C₄×D₄×C₂₃	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
51	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	D₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄²×C₂₃	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄²×C₂₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂₃×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
55	C₂₃×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
56	C₂₃×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
57	C₂₃×#100	—	4	2	no	—
58	C₂₃×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₄×C₈×C₂₃	—	2	2	no	—
60	C₂⁴×C₂₃	—	2	2	no	—
61	C₂⁴×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
62	#41×C₂₃	—	4	16	no	—
63	#41×C₂₃	—	4	8	no	—
64	#41×C₂₃	—	4	8	no	—
65	C₂×Q₈×C₂₃	—	2	4	no	—
66	C₂×Q₈×C₂₃	—	2	1	no	—
67	C₂×Q₈×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
68	C₂×D₄×C₂₃	—	2	8	no	—
69	C₂×D₄×C₂₃	—	2	8	no	—
70	C₂×D₄×C₂₃	—	2	2	no	—
71	C₂×D₄×C₂₃	—	2	2	no	—
72	C₂×D₄×C₂₃	—	2	4	no	—
73	C₂×D₄×C₂₃	—	2	4	no	—
74	C₂×D₄×C₂₃	—	2	2	no	—
75	C₂×D₄×C₂₃	—	2	1	no	—
76	C₂×D₄×C₂₃	—	2	1	no	—
77	C₂×D₄×C₂₃	—	4	8	no	—
78	C₂×D₄×C₂₃	—	4	4	no	—
79	C₂×D₄×C₂₃	—	4	2	no	—
80	C₂×D₄×C₂₃	—	4	1	no	—
81	C₂×D₄×C₂₃	—	4	1	no	—
82	C₂×D₄×C₂₃	—	8	2	no	—
83	C₂×D₄×C₂₃	—	8	4	no	—
84	C₂×D₄×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
86	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	8	no	—
87	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
88	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄×C₂₃	—	4	8	no	—
91	C₂²×C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
92	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₄×C₂₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₄×C₂₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	M₁₆×C₂₃	—	4	2	no	—
97	M₁₆×C₂₃	—	4	2	no	—
98	C₂×C₈×C₂₃	—	4	2	no	—
99	C₂×C₈×C₂₃	—	4	2	no	—
100	C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
101	C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
102	C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
103	C₄⋊C₄×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
104	C₂²⋊C₄×C₂₃	—	2	8	no	—
105	C₂²⋊C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
106	C₄²×C₂₃	—	2	4	no	—
107	C₄²×C₂₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₄²×C₂₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	#8385	C₂₃	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
110	C₂³×C₂₃	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₂₃	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₂₃	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₂₃	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₂₃	—	4	4	no	—
115	C₂³×C₂₃	—	4	4	no	—
116	C₂³×C₂₃	—	4	2	no	—
117	C₂³×C₂₃	—	4	2	no	—
118	C₂³×C₂₃	—	4	2	no	—
119	C₂³×C₂₃	—	4	2	no	—
120	C₂³×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
121	Q₈×C₂₃	—	2	4	no	—
122	Q₈×C₂₃	—	2	2	no	—
123	Q₈×C₂₃	#100	1	4	yes	complemented
124	D₄×C₂₃	—	4	4	no	—
125	D₄×C₂₃	—	4	16	no	—
126	D₄×C₂₃	—	4	4	no	—
127	D₄×C₂₃	—	4	2	no	—
128	D₄×C₂₃	—	4	4	no	—
129	D₄×C₂₃	—	4	2	no	—
130	D₄×C₂₃	—	4	4	no	—
131	D₄×C₂₃	—	8	4	no	—
132	D₄×C₂₃	—	8	8	no	—
133	C₂×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₂₃	—	4	1	no	—
139	C₂×C₄×C₂₃	—	4	16	no	—
140	C₂×C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₂₃	#120	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₂₃	#120	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₂₃	#135	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₂₃	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₂₃	#137	1	1	yes	characteristic
151	C₈×C₂₃	—	8	2	no	—
152	C₈×C₂₃	—	8	2	no	—
153	C₂×#550	C₂×C₂₃	1	1	yes	characteristic
154	#1800	C₂×C₂₃	1	1	yes	characteristic, complemented
155	#1545	C₂×C₂₃	1	2	yes	complemented
156	#1487	C₂×C₂₃	1	2	yes	complemented
157	#1460	C₂×C₂₃	1	1	yes	characteristic, complemented
158	C₂²×C₂₃	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₂₃	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₂₃	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₂₃	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₂₃	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₂₃	—	4	4	no	—
164	C₂²×C₂₃	—	4	2	no	—
165	C₂²×C₂₃	—	4	4	no	—
166	C₂²×C₂₃	—	8	2	no	—
167	C₂²×C₂₃	—	8	2	no	—
168	C₂²×C₂₃	—	8	4	no	—
169	C₂²×C₂₃	—	8	4	no	—
170	C₂²×C₂₃	#379	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₂₃	#416	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₂₃	#417	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
174	C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
175	C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
176	C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
177	C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
178	C₄×C₂₃	C₂×#100	1	2	yes	—
179	C₄×C₂₃	#449	1	2	yes	—
180	C₄×C₂₃	#452	1	2	yes	—
181	C₂²×#41	C₄×C₂₃	1	2	yes	—
182	#550	—	2	4	no	—
183	#550	—	2	4	no	—
184	C₂×#127	—	2	1	no	—
185	C₂×#127	C₂²×C₂₃	1	1	yes	characteristic
186	C₂×#121	—	2	2	no	—
187	C₂×#121	C₄×C₂₃	1	2	yes	—
188	C₂×C₄×Q₈	C₂²×C₂₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄×D₄	C₂²×C₂₃	1	1	yes	characteristic
191	#431	C₂²×C₂₃	1	2	yes	—
192	#423	C₂²×C₂₃	1	2	yes	—
193	C₂×#100	—	2	1	no	—
194	#343	—	2	1	no	—
195	#331	—	2	4	no	—
196	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
197	#323	—	2	2	no	—
198	C₂×C₂₃	—	2	1	no	—
199	C₂×C₂₃	—	2	1	no	—
200	C₂×C₂₃	—	8	2	no	—
201	C₂×C₂₃	—	8	4	no	—
202	C₂×C₂₃	#1783	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₂₃	#1788	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₂₃	#1795	1	1	yes	characteristic
205	C₂×#41	—	2	4	no	—
206	C₂×#41	—	2	4	no	—
207	C₂×#41	—	4	8	no	—
208	C₂²×Q₈	C₂×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
213	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₂₃	1	2	yes	—
214	C₂²×D₄	D₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
215	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₂₃	1	2	yes	—
217	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
218	#127	—	2	8	no	—
219	#127	—	2	2	no	—
220	#127	D₄×C₂₃	1	4	yes	—
221	#121	—	2	16	no	—
222	#121	—	2	4	no	—
223	#121	—	2	4	no	—
224	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₄×Q₈	D₄×C₂₃	1	4	yes	—
226	C₄×D₄	—	2	8	no	—
227	C₄×D₄	—	2	2	no	—
228	C₄×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄⋊C₄	D₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₂²⋊C₄	D₄×C₂₃	1	2	yes	—
234	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
235	C₂×C₄²	C₂³×C₂₃	1	1	yes	characteristic
236	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
237	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
239	#100	—	4	2	no	—
240	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
241	C₄×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂₃	#8385	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
243	C₂⁴	—	2	2	no	—
244	C₂⁴	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
245	#41	—	4	16	no	—
246	#41	—	4	8	no	—
247	#41	—	4	8	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
250	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
251	C₂×D₄	—	2	8	no	—
252	C₂×D₄	—	2	8	no	—
253	C₂×D₄	—	2	2	no	—
254	C₂×D₄	—	2	2	no	—
255	C₂×D₄	—	2	4	no	—
256	C₂×D₄	—	2	4	no	—
257	C₂×D₄	—	2	2	no	—
258	C₂×D₄	—	2	1	no	—
259	C₂×D₄	—	2	1	no	—
260	C₂×D₄	—	4	8	no	—
261	C₂×D₄	—	4	4	no	—
262	C₂×D₄	—	4	2	no	—
263	C₂×D₄	—	4	1	no	—
264	C₂×D₄	—	4	1	no	—
265	C₂×D₄	—	8	2	no	—
266	C₂×D₄	—	8	4	no	—
267	C₂×D₄	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
279	M₁₆	—	4	2	no	—
280	M₁₆	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	C₂×D₄×C₂₃	1	2	yes	—
291	C₄²	C₂×D₄×C₂₃	1	2	yes	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	4	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
303	Q₈	—	2	4	no	—
304	Q₈	—	2	2	no	—
305	Q₈	C₂₃×#100	1	4	yes	complemented
306	D₄	—	4	4	no	—
307	D₄	—	4	16	no	—
308	D₄	—	4	4	no	—
309	D₄	—	4	2	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	D₄	—	4	2	no	—
312	D₄	—	4	4	no	—
313	D₄	—	8	4	no	—
314	D₄	—	8	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	1	no	—
321	C₂×C₄	—	4	16	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂₃×#120	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂₃×#120	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂₃×#135	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂₃×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂₃×#137	1	1	yes	characteristic
333	C₈	—	8	2	no	—
334	C₈	—	8	2	no	—
335	C₂²	—	2	1	no	—
336	C₂²	—	2	1	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	8	2	no	—
344	C₂²	—	8	2	no	—
345	C₂²	—	8	4	no	—
346	C₂²	—	8	4	no	—
347	C₂²	C₂₃×#379	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂₃×#416	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂₃×#417	1	1	yes	characteristic
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	1	no	—
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	C₂×C₂₃×#100	1	2	yes	—
356	C₄	C₂₃×#449	1	2	yes	—
357	C₄	C₂₃×#452	1	2	yes	—
358	C₂	—	2	1	no	—
359	C₂	—	2	1	no	—
360	C₂	—	8	4	no	—
361	C₂	—	8	2	no	—
362	C₂	C₂₃×#1783	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂₃×#1788	1	1	yes	characteristic
364	C₂	C₂₃×#1795	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²×C₂₃	#379
commutator	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₂₃
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂³×C₂₃
prime radical	C₂×C₂₃×#550	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₂₃ ◁ C₂×C₄²×C₂₃ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂₃×#1800	C₂	semidirect
3. C₂₃×#1545	C₂	semidirect
4. C₂₃×#1487	C₂	semidirect
5. C₂₃×#1460	C₂	semidirect
109. #8385	C₂₃	direct (N × H)
123. Q₈×C₂₃	#100	semidirect
154. #1800	C₂×C₂₃	semidirect
155. #1545	C₂×C₂₃	semidirect
156. #1487	C₂×C₂₃	semidirect
157. #1460	C₂×C₂₃	semidirect
242. C₂₃	#8385	direct (N × H)
305. Q₈	C₂₃×#100	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₂₃×#550	2
C₂₃×#1800	2
C₂₃×#1545	2
C₂₃×#1487	2
C₂₃×#1460	2
#8385	23

Subgroups — C23×#8385 #19156011

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂₃×#8385 #19156011