Subgroups — C₂₃×#9015 #19156641

Order 5888.

800 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₂₃×#395	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂₃×#2316	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂₃×#1787	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×C₂₃×#324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂₃×#1294	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂³×Q₈×C₂₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×C₂₃×#117	—	2	1	no	—
8	C₂²×C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
9	C₂²×C₄⋊C₄×C₂₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₂₃×#103	—	2	4	no	—
11	C₂×C₂₃×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂₃×#395	—	2	2	no	—
13	C₂₃×#395	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂₃×#389	—	2	4	no	—
15	C₂₃×#380	—	2	1	no	—
16	C₂₃×#380	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₂₃×#95	—	2	1	no	—
18	C₂×C₂₃×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂₃×#324	—	2	2	no	—
20	C₂²×Q₈×C₂₃	—	2	1	no	—
21	C₂²×Q₈×C₂₃	—	2	2	no	—
22	C₂²×Q₈×C₂₃	—	2	2	no	—
23	C₂²×Q₈×C₂₃	—	4	4	no	—
24	C₂²×Q₈×C₂₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
25	C₂³×C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
26	C₂³×C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
27	C₂³×C₄×C₂₃	D₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×C₄×C₂₃	D₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×C₄×C₂₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₈×C₂₃	—	2	2	no	—
31	C₂₃×#117	—	4	2	no	—
32	C₂₃×#117	—	4	2	no	—
33	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
35	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
39	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	D₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	D₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄²×C₂₃	—	2	2	no	—
44	C₂₃×#103	—	4	8	no	—
45	C₂₃×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
46	C₂₃×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
47	C₂₃×#95	—	2	2	no	—
48	C₂₃×#95	—	2	4	no	—
49	C₂₃×#95	—	2	1	no	—
50	C₂₃×#95	—	2	2	no	—
51	C₂₃×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂⁴×C₂₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×Q₈×C₂₃	—	2	8	no	—
54	C₂×Q₈×C₂₃	—	2	4	no	—
55	C₂×Q₈×C₂₃	—	4	4	no	—
56	C₂×Q₈×C₂₃	—	4	4	no	—
57	C₂×Q₈×C₂₃	—	4	4	no	—
58	C₂×Q₈×C₂₃	—	4	8	no	—
59	C₂×Q₈×C₂₃	—	4	2	no	—
60	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
61	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
64	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
69	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	1	no	—
70	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
72	C₂²×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
73	C₂²×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
74	C₂²×C₄×C₂₃	—	4	1	no	—
75	C₂²×C₄×C₂₃	—	4	1	no	—
76	C₂²×C₄×C₂₃	—	4	1	no	—
77	C₂²×C₄×C₂₃	—	4	1	no	—
78	C₂²×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₂₃	SD₁₆	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₂₃	Q₁₆	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₂₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₂₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄×C₂₃	#41	1	2	yes	—
87	C₂×C₈×C₂₃	—	4	4	no	—
88	C₂×C₈×C₂₃	—	4	2	no	—
89	C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
90	C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
91	C₄⋊C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
92	C₄⋊C₄×C₂₃	—	4	8	no	—
93	C₄⋊C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
94	C₄⋊C₄×C₂₃	—	8	2	no	—
95	C₂²⋊C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
96	C₂²⋊C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
97	C₄²×C₂₃	—	4	4	no	—
98	#9015	C₂₃	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
99	C₂³×C₂₃	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₂₃	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₂₃	#120	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₂₃	#123	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₂₃	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₂₃	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₂₃	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₂₃	#137	1	1	yes	characteristic
108	Q₈×C₂₃	—	2	8	no	—
109	Q₈×C₂₃	—	4	8	no	—
110	Q₈×C₂₃	—	4	4	no	—
111	C₂×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₂₃	—	4	1	no	—
122	C₂×C₄×C₂₃	—	4	1	no	—
123	C₂×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
124	C₂×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
125	C₂×C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
126	C₂×C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
127	C₂×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
129	C₂×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
130	C₂×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
137	C₂×C₄×C₂₃	—	8	1	no	—
138	C₂×C₄×C₂₃	#103	1	4	yes	complemented
139	C₂×C₄×C₂₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₂₃	#121	1	2	yes	—
141	C₈×C₂₃	—	8	2	no	—
142	C₂×#395	C₂×C₂₃	1	1	yes	characteristic
143	#2316	C₂×C₂₃	1	1	yes	characteristic
144	#1787	C₂×C₂₃	1	2	yes	—
145	C₂×#324	C₂×C₂₃	1	1	yes	characteristic
146	#1294	C₂×C₂₃	1	2	yes	—
147	C₂²×C₂₃	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₂₃	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₂₃	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₂₃	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₂₃	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₂₃	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₂₃	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₂₃	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₂₃	#386	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₂₃	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₂₃	#417	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₂₃	#450	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₂₃	#451	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₂₃	#456	1	2	yes	—
161	C₂²×C₂₃	B(4,𝔽₂)	1	2	yes	—
162	C₂²×C₂₃	#483	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₂₃	#484	1	1	yes	characteristic
164	C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
165	C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
166	C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
167	C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
168	C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
169	C₄×C₂₃	—	4	2	no	—
170	C₄×C₂₃	—	8	4	no	—
171	C₂³×Q₈	C₂²×C₂₃	1	1	yes	characteristic
172	C₂×#117	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₂₃	1	1	yes	characteristic
175	C₂×#103	—	2	4	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²×C₂₃	1	2	yes	—
177	#395	—	2	2	no	—
178	#395	C₄×C₂₃	1	4	yes	complemented
179	#389	—	2	4	no	—
180	#380	—	2	1	no	—
181	#380	C₂²×C₂₃	1	2	yes	—
182	C₂×#95	—	2	1	no	—
183	C₂×#95	C₂²×C₂₃	1	1	yes	characteristic
184	#324	—	2	2	no	—
185	C₂×C₂₃	—	2	1	no	—
186	C₂×C₂₃	—	2	1	no	—
187	C₂×C₂₃	—	2	1	no	—
188	C₂×C₂₃	—	2	1	no	—
189	C₂×C₂₃	#1604	1	2	yes	—
190	C₂×C₂₃	#1605	1	2	yes	—
191	C₂×C₂₃	#1872	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₂₃	#1886	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₂₃	#1889	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
195	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
198	C₂²×Q₈	C₂×C₄×C₂₃	1	2	yes	—
199	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂³×C₄	D₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
202	C₂³×C₄	D₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂³×C₄	C₂³×C₂₃	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
205	#117	—	4	2	no	—
206	#117	—	4	2	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄×C₂₃	1	2	yes	—
214	C₂×C₄⋊C₄	D₄×C₂₃	1	2	yes	—
215	C₂×C₄⋊C₄	D₄×C₂₃	1	4	yes	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
218	#103	—	4	8	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
220	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
221	#95	—	2	2	no	—
222	#95	—	2	4	no	—
223	#95	—	2	1	no	—
224	#95	—	2	2	no	—
225	#95	C₂×C₄×C₂₃	1	2	yes	—
226	C₂₃	#9015	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
227	C₂⁴	C₂×D₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
228	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	SD₁₆×C₂₃	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	Q₁₆×C₂₃	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₂₃	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	#41×C₂₃	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
276	C₂³	C₂₃×#120	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	C₂₃×#123	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	C₂×SD₁₆×C₂₃	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	C₂×Q₁₆×C₂₃	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	C₂₃×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂₃×#137	1	1	yes	characteristic
282	Q₈	—	2	8	no	—
283	Q₈	—	4	8	no	—
284	Q₈	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	1	no	—
296	C₂×C₄	—	4	1	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	8	1	no	—
312	C₂×C₄	C₂₃×#103	1	4	yes	complemented
313	C₂×C₄	C₄×D₄×C₂₃	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂₃×#121	1	2	yes	—
315	C₈	—	8	2	no	—
316	C₂²	—	2	1	no	—
317	C₂²	—	2	1	no	—
318	C₂²	—	2	1	no	—
319	C₂²	—	2	1	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	C₂₃×#386	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×C₂₃×#103	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂₃×#417	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂₃×#450	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	C₂₃×#451	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂₃×#456	1	2	yes	—
330	C₂²	C₂₃×B(4,𝔽₂)	1	2	yes	—
331	C₂²	C₂₃×#483	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂₃×#484	1	1	yes	characteristic
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	4	no	—
336	C₄	—	4	4	no	—
337	C₄	—	4	4	no	—
338	C₄	—	4	2	no	—
339	C₄	—	8	4	no	—
340	C₂	—	2	1	no	—
341	C₂	—	2	1	no	—
342	C₂	—	2	1	no	—
343	C₂	—	2	1	no	—
344	C₂	C₂₃×#1604	1	2	yes	—
345	C₂	C₂₃×#1605	1	2	yes	—
346	C₂	C₂₃×#1872	1	1	yes	characteristic
347	C₂	C₂₃×#1886	1	1	yes	characteristic
348	C₂	C₂₃×#1889	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³×C₂₃	#120
commutator	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₂₃
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂³×C₂₃
prime radical	C₂⁴×C₂₃	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₂₃ ◁ C₂³×C₄×C₂₃ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. C₂₃×#395	C₄	semidirect
98. #9015	C₂₃	direct (N × H)
138. C₂×C₄×C₂₃	#103	semidirect
178. #395	C₄×C₂₃	semidirect
226. C₂₃	#9015	direct (N × H)
312. C₂×C₄	C₂₃×#103	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₂₃×#395	2
C₂₃×#2316	2
C₂₃×#1787	2
C₂×C₂₃×#324	2
C₂₃×#1294	2
#9015	23

Subgroups — C23×#9015 #19156641

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂₃×#9015 #19156641