Subgroups — C₂₃×#20398 #19168024

Order 5888.

1658 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 270 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₂₃×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₂₃×#100	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂₃×#2873	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₄×C₂₃×#100	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂₃×#1742	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂³×D₄×C₂₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂²×M₁₆×C₂₃	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂₃×#518	—	2	8	no	—
9	C₂×C₄×D₄×C₂₃	C₄	1	4	yes	—
10	C₂×C₄×D₄×C₂₃	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×C₂₃×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₂₃×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₂²⋊C₄×C₂₃	C₄	1	4	yes	—
14	C₂×C₂₃×#100	C₄	1	16	yes	complemented
15	C₂×C₂₃×#100	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂₃×#405	—	2	8	no	—
17	C₄×M₁₆×C₂₃	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂₃×#343	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂⁵×C₂₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
20	C₂²×D₄×C₂₃	—	2	4	no	—
21	C₂²×D₄×C₂₃	—	2	4	no	—
22	C₂²×D₄×C₂₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
23	C₂²×D₄×C₂₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
24	C₂²×D₄×C₂₃	C₂³	1	2	yes	—
25	C₂³×C₄×C₂₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
26	C₂³×C₄×C₂₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
27	C₂×M₁₆×C₂₃	—	2	4	no	—
28	C₂×M₁₆×C₂₃	—	2	8	no	—
29	C₂×M₁₆×C₂₃	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
30	C₂×M₁₆×C₂₃	C₂³	1	8	yes	—
31	C₂²×C₈×C₂₃	—	2	4	no	—
32	C₄×D₄×C₂₃	—	2	16	no	—
33	C₄×D₄×C₂₃	—	2	16	no	—
34	C₂₃×#117	—	2	4	no	—
35	C₂₃×#117	D₄	1	8	yes	—
36	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	—	2	16	no	—
39	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄²×C₂₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄²×C₂₃	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂₃×#100	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
45	C₂₃×#97	—	2	8	no	—
46	C₄×C₈×C₂₃	—	2	8	no	—
47	C₂⁴×C₂₃	—	2	4	no	—
48	C₂⁴×C₂₃	—	2	4	no	—
49	C₂⁴×C₂₃	—	8	4	no	—
50	C₂⁴×C₂₃	C₄²	1	8	yes	—
51	C₂⁴×C₂₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
52	C₂⁴×C₂₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×D₄×C₂₃	—	2	4	no	—
54	C₂×D₄×C₂₃	—	2	4	no	—
55	C₂×D₄×C₂₃	—	2	16	no	—
56	C₂×D₄×C₂₃	—	2	16	no	—
57	C₂×D₄×C₂₃	—	2	4	no	—
58	C₂×D₄×C₂₃	—	2	4	no	—
59	C₂×D₄×C₂₃	C₄²	1	8	yes	—
60	C₂×D₄×C₂₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
61	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	16	no	—
62	C₂²×C₄×C₂₃	—	8	8	no	—
63	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄×C₂₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
68	C₂²×C₄×C₂₃	#41	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄×C₂₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
70	M₁₆×C₂₃	—	2	16	no	—
71	M₁₆×C₂₃	—	2	8	no	—
72	M₁₆×C₂₃	C₂²×C₄	1	16	yes	—
73	C₂×C₈×C₂₃	—	2	16	no	—
74	C₂×C₈×C₂₃	—	2	8	no	—
75	C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
76	C₄⋊C₄×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
77	C₂²⋊C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
78	C₂²⋊C₄×C₂₃	—	2	16	no	—
79	C₂²⋊C₄×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
80	C₄²×C₂₃	—	2	4	no	—
81	C₄²×C₂₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
82	#20398	C₂₃	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
83	C₂³×C₂₃	—	2	4	no	—
84	C₂³×C₂₃	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₂₃	—	2	16	no	—
86	C₂³×C₂₃	—	4	2	no	—
87	C₂³×C₂₃	—	4	8	no	—
88	C₂³×C₂₃	—	8	8	no	—
89	C₂³×C₂₃	—	8	8	no	—
90	C₂³×C₂₃	—	8	8	no	—
91	C₂³×C₂₃	C₂×C₄²	1	8	yes	—
92	C₂³×C₂₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
93	C₂³×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₂₃	#117	1	2	yes	—
95	C₂³×C₂₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
96	D₄×C₂₃	—	2	16	no	—
97	D₄×C₂₃	—	2	16	no	—
98	C₂×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
100	C₂×C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
101	C₂×C₄×C₂₃	—	8	16	no	—
102	C₂×C₄×C₂₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
104	C₂×C₄×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₄×C₂₃	#117	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₂₃	C₄×D₄	1	8	yes	—
107	C₂×C₄×C₂₃	C₄×D₄	1	8	yes	—
108	C₂×C₄×C₂₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₂₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×C₂₃	C₂×#41	1	2	yes	—
111	C₈×C₂₃	—	2	16	no	—
112	C₂×#518	C₂×C₂₃	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×#100	C₂×C₂₃	1	2	yes	—
114	#2873	C₂×C₂₃	1	2	yes	complemented
115	C₄×#100	C₂×C₂₃	1	8	yes	complemented
116	#1742	C₂×C₂₃	1	2	yes	complemented
117	C₂²×C₂₃	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₂₃	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₂₃	—	2	8	no	—
120	C₂²×C₂₃	—	4	2	no	—
121	C₂²×C₂₃	—	4	2	no	—
122	C₂²×C₂₃	—	4	8	no	—
123	C₂²×C₂₃	—	4	8	no	—
124	C₂²×C₂₃	—	4	8	no	—
125	C₂²×C₂₃	—	8	16	no	—
126	C₂²×C₂₃	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₂₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₂₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₂₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
130	C₄×C₂₃	—	2	8	no	—
131	C₄×C₂₃	—	4	4	no	—
132	C₄×C₂₃	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
133	C₄×C₂₃	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
134	C₂³×D₄	C₂²×C₂₃	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×M₁₆	C₂²×C₂₃	1	4	yes	—
136	#518	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄×D₄	C₄×C₂₃	1	4	yes	—
138	C₂×C₄×D₄	C₂²×C₂₃	1	4	yes	—
139	C₂×#117	C₂²×C₂₃	1	1	yes	characteristic
140	C₂×#117	C₂²×C₂₃	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₂²⋊C₄	C₄×C₂₃	1	4	yes	—
142	C₂×#100	C₄×C₂₃	1	16	yes	complemented
143	C₂×#100	C₂²×C₂₃	1	8	yes	—
144	#405	—	2	8	no	—
145	C₄×M₁₆	C₂²×C₂₃	1	8	yes	complemented
146	#343	C₂²×C₂₃	1	8	yes	complemented
147	C₂×C₂₃	—	2	1	no	—
148	C₂×C₂₃	—	2	1	no	—
149	C₂×C₂₃	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂₃	—	4	8	no	—
151	C₂×C₂₃	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₂₃	#2888	1	2	yes	—
153	C₂⁵	C₂×C₄×C₂₃	1	2	yes	—
154	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₂₃	1	2	yes	—
157	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₂₃	1	8	yes	—
158	C₂²×D₄	C₂³×C₂₃	1	2	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₂₃	1	8	yes	—
160	C₂³×C₄	C₂³×C₂₃	1	1	yes	characteristic
161	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
162	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
163	C₂×M₁₆	C₂×C₄×C₂₃	1	16	yes	complemented
164	C₂×M₁₆	C₂³×C₂₃	1	8	yes	—
165	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
166	C₄×D₄	—	2	16	no	—
167	C₄×D₄	—	2	16	no	—
168	#117	—	2	4	no	—
169	#117	D₄×C₂₃	1	8	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄×C₂₃	1	2	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₂₃	1	2	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₂₃	1	2	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₂₃	1	8	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₂₃	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×C₄×C₂₃	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂³×C₂₃	1	2	yes	—
178	#100	C₂×C₄×C₂₃	1	32	yes	complemented
179	#97	—	2	8	no	—
180	C₄×C₈	—	2	8	no	—
181	C₂₃	#20398	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
182	C₂⁴	—	2	4	no	—
183	C₂⁴	—	2	4	no	—
184	C₂⁴	—	8	4	no	—
185	C₂⁴	C₄²×C₂₃	1	8	yes	—
186	C₂⁴	C₂²×C₄×C₂₃	1	4	yes	—
187	C₂⁴	C₂²×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	16	no	—
191	C₂×D₄	—	2	16	no	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	C₄²×C₂₃	1	8	yes	—
195	C₂×D₄	C₂²×C₄×C₂₃	1	8	yes	—
196	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
197	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
198	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₂₃	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₂₃	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₂₃	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₂₃	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	#41×C₂₃	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴×C₂₃	1	1	yes	characteristic
205	M₁₆	—	2	16	no	—
206	M₁₆	—	2	8	no	—
207	M₁₆	C₂²×C₄×C₂₃	1	16	yes	—
208	C₂×C₈	—	2	16	no	—
209	C₂×C₈	—	2	8	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	8	yes	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
214	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	8	yes	—
215	C₄²	—	2	4	no	—
216	C₄²	C₂×D₄×C₂₃	1	8	yes	—
217	C₂³	—	2	4	no	—
218	C₂³	—	2	4	no	—
219	C₂³	—	2	16	no	—
220	C₂³	—	4	2	no	—
221	C₂³	—	4	8	no	—
222	C₂³	—	8	8	no	—
223	C₂³	—	8	8	no	—
224	C₂³	—	8	8	no	—
225	C₂³	C₂×C₄²×C₂₃	1	8	yes	—
226	C₂³	C₂×C₄²×C₂₃	1	2	yes	—
227	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
228	C₂³	C₂₃×#117	1	2	yes	—
229	C₂³	C₂³×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
230	D₄	—	2	16	no	—
231	D₄	—	2	16	no	—
232	C₂×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂×C₄	—	8	16	no	—
236	C₂×C₄	C₂×C₄²×C₂₃	1	2	yes	—
237	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	8	yes	—
238	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
239	C₂×C₄	C₂₃×#117	1	2	yes	—
240	C₂×C₄	C₄×D₄×C₂₃	1	8	yes	—
241	C₂×C₄	C₄×D₄×C₂₃	1	8	yes	—
242	C₂×C₄	C₂³×C₄×C₂₃	1	2	yes	—
243	C₂×C₄	C₂²×D₄×C₂₃	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	C₂×#41×C₂₃	1	2	yes	—
245	C₈	—	2	16	no	—
246	C₂²	—	2	2	no	—
247	C₂²	—	2	4	no	—
248	C₂²	—	2	8	no	—
249	C₂²	—	4	2	no	—
250	C₂²	—	4	2	no	—
251	C₂²	—	4	8	no	—
252	C₂²	—	4	8	no	—
253	C₂²	—	4	8	no	—
254	C₂²	—	8	16	no	—
255	C₂²	C₄×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	4	yes	—
256	C₂²	C₂²×C₄²×C₂₃	1	1	yes	characteristic
257	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
258	C₂²	C₂×C₂₃×#117	1	1	yes	characteristic
259	C₄	—	2	8	no	—
260	C₄	—	4	4	no	—
261	C₄	C₄×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	4	yes	—
262	C₄	C₂×C₄×D₄×C₂₃	1	4	yes	—
263	C₂	—	2	1	no	—
264	C₂	—	2	1	no	—
265	C₂	—	2	4	no	—
266	C₂	—	4	8	no	—
267	C₂	C₂×C₄×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂	C₂₃×#2888	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²×C₂₃	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²	C₂²×C₄²×C₂₃
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴×C₂₃
prime radical	C₂³×D₄×C₂₃	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₂₃ ◁ C₂×C₂₃×#117 ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂₃×#2873	C₂	semidirect
4. C₄×C₂₃×#100	C₂	semidirect
5. C₂₃×#1742	C₂	semidirect
14. C₂×C₂₃×#100	C₄	semidirect
17. C₄×M₁₆×C₂₃	C₂²	semidirect
18. C₂₃×#343	C₂²	semidirect
29. C₂×M₁₆×C₂₃	C₂×C₄	semidirect
44. C₂₃×#100	C₂×C₄	semidirect
82. #20398	C₂₃	direct (N × H)
114. #2873	C₂×C₂₃	semidirect
115. C₄×#100	C₂×C₂₃	semidirect
116. #1742	C₂×C₂₃	semidirect
142. C₂×#100	C₄×C₂₃	semidirect
145. C₄×M₁₆	C₂²×C₂₃	semidirect
146. #343	C₂²×C₂₃	semidirect
163. C₂×M₁₆	C₂×C₄×C₂₃	semidirect
178. #100	C₂×C₄×C₂₃	semidirect
181. C₂₃	#20398	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₂₃×#518	2
C₂²×C₂₃×#100	2
C₂₃×#2873	2
C₄×C₂₃×#100	2
C₂₃×#1742	2
#20398	23

Subgroups — C23×#20398 #19168024

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂₃×#20398 #19168024