Subgroups — C₂₃×#20694 #19168320

Order 5888.

1430 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 324 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₂₃×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₂₃×#407	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂₃×#1822	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂₃×#1821	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂₃×#1742	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂⁴×C₄×C₂₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂²×M₁₆×C₂₃	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂×C₂₃×#117	—	2	4	no	—
9	C₂×C₂₃×#117	—	2	4	no	—
10	C₂×C₂₃×#117	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×C₂₃×#117	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×C₂₃×#117	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₂₃×#117	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊C₄×C₂₃	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₂²⋊C₄×C₂₃	C₄	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄²×C₂₃	C₄	1	2	yes	—
17	C₂₃×#407	—	2	4	no	—
18	C₂₃×#407	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂₃×#407	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₂₃×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
21	C₂₃×#343	C₂²	1	16	yes	complemented
22	C₂⁵×C₂₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂³×C₄×C₂₃	—	2	8	no	—
24	C₂³×C₄×C₂₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×C₄×C₂₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×C₄×C₂₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₄×C₂₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂³×C₄×C₂₃	D₄	1	4	yes	—
29	C₂³×C₄×C₂₃	D₄	1	4	yes	—
30	C₂³×C₄×C₂₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×C₄×C₂₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₄×C₂₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂×M₁₆×C₂₃	—	2	4	no	—
34	C₂×M₁₆×C₂₃	—	2	16	no	—
35	C₂×M₁₆×C₂₃	C₂³	1	8	yes	—
36	C₂²×C₈×C₂₃	—	2	4	no	—
37	C₂₃×#117	—	2	8	no	—
38	C₂₃×#117	—	2	4	no	—
39	C₂₃×#117	—	2	4	no	—
40	C₂₃×#117	—	2	8	no	—
41	C₂₃×#117	—	2	4	no	—
42	C₂₃×#117	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₄⋊C₄×C₂₃	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	—	2	8	no	—
48	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₄²×C₂₃	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄²×C₂₃	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄²×C₂₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄²×C₂₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂₃×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
55	C₂₃×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
56	C₂⁴×C₂₃	—	2	4	no	—
57	C₂⁴×C₂₃	—	4	4	no	—
58	C₂⁴×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
59	C₂⁴×C₂₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂⁴×C₂₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂⁴×C₂₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	16	no	—
66	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	16	no	—
67	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₂₃	—	4	8	no	—
72	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
80	C₂²×C₄×C₂₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₂₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₂₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
83	C₂²×C₄×C₂₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄×C₂₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₂₃	#41	1	8	yes	—
86	C₂²×C₄×C₂₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
87	M₁₆×C₂₃	—	2	16	no	—
88	M₁₆×C₂₃	—	4	8	no	—
89	C₂×C₈×C₂₃	—	2	8	no	—
90	C₂×C₈×C₂₃	—	4	8	no	—
91	C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	8	no	—
92	C₄⋊C₄×C₂₃	—	2	8	no	—
93	C₂²⋊C₄×C₂₃	—	2	8	no	—
94	C₂²⋊C₄×C₂₃	—	2	8	no	—
95	C₄²×C₂₃	—	2	8	no	—
96	C₄²×C₂₃	—	2	4	no	—
97	C₄²×C₂₃	—	2	4	no	—
98	#20694	C₂₃	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
99	C₂³×C₂₃	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₂₃	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₂₃	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₂₃	—	2	8	no	—
103	C₂³×C₂₃	—	2	8	no	—
104	C₂³×C₂₃	—	4	4	no	—
105	C₂³×C₂₃	—	4	2	no	—
106	C₂³×C₂₃	—	4	2	no	—
107	C₂³×C₂₃	—	4	16	no	—
108	C₂³×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₂₃	#117	1	4	yes	—
112	C₂³×C₂₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₂₃	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄×C₂₃	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄×C₂₃	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄×C₂₃	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄×C₂₃	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄×C₂₃	—	4	8	no	—
124	C₂×C₄×C₂₃	—	4	8	no	—
125	C₂×C₄×C₂₃	—	4	8	no	—
126	C₂×C₄×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₂₃	#117	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₂₃	#123	1	8	yes	—
132	C₂×C₄×C₂₃	#123	1	8	yes	—
133	C₂×C₄×C₂₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₂₃	C₂×#41	1	4	yes	—
135	C₈×C₂₃	—	4	8	no	—
136	C₂²×#117	C₂×C₂₃	1	1	yes	characteristic
137	C₂×#407	C₂×C₂₃	1	2	yes	—
138	#1822	C₂×C₂₃	1	4	yes	complemented
139	#1821	C₂×C₂₃	1	4	yes	complemented
140	#1742	C₂×C₂₃	1	4	yes	complemented
141	C₂²×C₂₃	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₂₃	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₂₃	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₂₃	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₂₃	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₂₃	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₂₃	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₂₃	—	4	4	no	—
149	C₂²×C₂₃	—	4	16	no	—
150	C₂²×C₂₃	—	4	4	no	—
151	C₂²×C₂₃	#381	1	4	yes	—
152	C₂²×C₂₃	#413	1	4	yes	—
153	C₂²×C₂₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₂₃	C₂×#117	1	2	yes	—
155	C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
156	C₄×C₂₃	—	2	2	no	—
157	C₄×C₂₃	—	4	8	no	—
158	C₄×C₂₃	#381	1	2	yes	—
159	C₄×C₂₃	#381	1	2	yes	—
160	C₄×C₂₃	C₂×#123	1	4	yes	—
161	C₂⁴×C₄	C₂²×C₂₃	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×M₁₆	C₂²×C₂₃	1	4	yes	—
163	C₂×#117	—	2	4	no	—
164	C₂×#117	—	2	4	no	—
165	C₂×#117	C₄×C₂₃	1	2	yes	—
166	C₂×#117	C₄×C₂₃	1	2	yes	—
167	C₂×#117	C₂²×C₂₃	1	2	yes	—
168	C₂×#117	C₂²×C₂₃	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₂₃	1	2	yes	—
170	C₂²×C₂²⋊C₄	C₄×C₂₃	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄²	C₄×C₂₃	1	2	yes	—
172	#407	—	2	4	no	—
173	#407	C₂²×C₂₃	1	4	yes	—
174	#407	C₂²×C₂₃	1	4	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
176	#343	C₂²×C₂₃	1	16	yes	complemented
177	C₂×C₂₃	—	2	2	no	—
178	C₂×C₂₃	—	2	4	no	—
179	C₂×C₂₃	—	2	4	no	—
180	C₂×C₂₃	—	4	2	no	—
181	C₂×C₂₃	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₂₃	C₂×#413	1	2	yes	—
183	C₂⁵	C₂×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
184	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
186	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
187	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
188	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₂₃	1	4	yes	—
189	C₂³×C₄	D₄×C₂₃	1	4	yes	—
190	C₂³×C₄	D₄×C₂₃	1	4	yes	—
191	C₂³×C₄	C₂³×C₂₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂³×C₄	C₂³×C₂₃	1	1	yes	characteristic
193	C₂³×C₄	C₂³×C₂₃	1	1	yes	characteristic
194	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
195	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
196	C₂×M₁₆	C₂³×C₂₃	1	8	yes	—
197	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
198	#117	—	2	8	no	—
199	#117	—	2	4	no	—
200	#117	—	2	4	no	—
201	#117	—	2	8	no	—
202	#117	—	2	4	no	—
203	#117	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄×C₂₃	1	4	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₂₃	1	4	yes	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₂₃	1	4	yes	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₂₃	1	4	yes	—
211	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄²	C₂×C₄×C₂₃	1	4	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂×C₄×C₂₃	1	4	yes	—
215	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
216	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
217	C₂₃	#20694	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
218	C₂⁴	—	2	4	no	—
219	C₂⁴	—	4	4	no	—
220	C₂⁴	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	4	yes	—
221	C₂⁴	C₂²×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
222	C₂⁴	C₂²×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
223	C₂⁴	C₂²×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₂₃	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₂₃	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₂₃	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₂₃	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₂₃	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	#41×C₂₃	1	8	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂⁴×C₂₃	1	1	yes	characteristic
249	M₁₆	—	2	16	no	—
250	M₁₆	—	4	8	no	—
251	C₂×C₈	—	2	8	no	—
252	C₂×C₈	—	4	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₄²	—	2	8	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	8	no	—
263	C₂³	—	2	8	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	4	4	no	—
266	C₂³	—	4	2	no	—
267	C₂³	—	4	2	no	—
268	C₂³	—	4	16	no	—
269	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
270	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂₃×#117	1	4	yes	—
273	C₂³	C₂³×C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂×C₄	—	4	8	no	—
286	C₂×C₄	—	4	8	no	—
287	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂₃×#117	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	C₂₃×#123	1	8	yes	—
293	C₂×C₄	C₂₃×#123	1	8	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×D₄×C₂₃	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×#41×C₂₃	1	4	yes	—
296	C₈	—	4	8	no	—
297	C₂²	—	2	8	no	—
298	C₂²	—	2	2	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	2	2	no	—
301	C₂²	—	2	4	no	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	4	4	no	—
305	C₂²	—	4	16	no	—
306	C₂²	—	4	4	no	—
307	C₂²	C₂₃×#381	1	4	yes	—
308	C₂²	C₂₃×#413	1	4	yes	—
309	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄×C₂₃	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂×C₂₃×#117	1	2	yes	—
311	C₄	—	2	2	no	—
312	C₄	—	2	2	no	—
313	C₄	—	4	8	no	—
314	C₄	C₂₃×#381	1	2	yes	—
315	C₄	C₂₃×#381	1	2	yes	—
316	C₄	C₂×C₂₃×#123	1	4	yes	—
317	C₂	—	2	4	no	—
318	C₂	—	2	2	no	—
319	C₂	—	2	4	no	—
320	C₂	—	4	2	no	—
321	C₂	C₂×C₂₃×#381	1	1	yes	characteristic
322	C₂	C₂×C₂₃×#413	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄×C₂₃	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄×C₂₃
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴×C₂₃
socle	C₂²×C₂₃	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁵×C₂₃	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄×C₂₃ ◁ C₂⁴×C₄×C₂₃ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂₃×#1822	C₂	semidirect
4. C₂₃×#1821	C₂	semidirect
5. C₂₃×#1742	C₂	semidirect
21. C₂₃×#343	C₂²	semidirect
98. #20694	C₂₃	direct (N × H)
138. #1822	C₂×C₂₃	semidirect
139. #1821	C₂×C₂₃	semidirect
140. #1742	C₂×C₂₃	semidirect
176. #343	C₂²×C₂₃	semidirect
217. C₂₃	#20694	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₂₃×#117	2
C₂×C₂₃×#407	2
C₂₃×#1822	2
C₂₃×#1821	2
C₂₃×#1742	2
#20694	23

Subgroups — C23×#20694 #19168320

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂₃×#20694 #19168320