Subgroups — #191778

Order 512.

1120 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 413 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60230	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20726	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17807	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8837	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8835	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#7885	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#2975	C₂²	1	2	yes	—
10	#2974	—	2	4	no	—
11	#2973	—	2	2	no	—
12	#2972	C₂²	1	2	yes	—
13	D₄×M₁₆	—	2	2	no	—
14	D₄×M₁₆	—	2	2	no	—
15	#2920	C₂²	1	2	yes	—
16	#2920	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#407	—	2	2	no	—
19	C₂²×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1954	—	2	2	no	—
22	#1954	C₂²	1	2	yes	—
23	#1954	C₂²	1	2	yes	—
24	#1821	C₄	1	2	yes	—
25	#1800	C₄	1	2	yes	—
26	#1800	C₄	1	2	yes	—
27	#1783	C₄	1	2	yes	—
28	C₄×#100	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×#100	C₂²	1	2	yes	—
30	#1573	—	2	4	no	—
31	#1571	—	2	2	no	—
32	#1570	—	2	2	no	—
33	#1565	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#1278	C₂²	1	8	yes	complemented
35	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
40	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#436	—	2	4	no	—
55	#436	—	2	4	no	—
56	#435	—	2	8	no	—
57	#435	—	2	8	no	—
58	C₈×D₄	—	2	4	no	—
59	C₈×D₄	—	2	4	no	—
60	#432	—	2	2	no	—
61	#432	—	2	2	no	—
62	#432	—	2	2	no	—
63	#432	D₄	1	4	yes	—
64	#431	—	2	2	no	—
65	#431	—	2	2	no	—
66	#431	—	2	2	no	—
67	#431	C₂³	1	4	yes	—
68	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#423	D₄	1	2	yes	—
70	#423	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#100	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×#100	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	#407	—	2	4	no	—
78	#407	—	2	4	no	—
79	#407	—	2	2	no	—
80	#407	—	2	4	no	—
81	#407	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
87	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
88	C₄×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	#343	C₂×C₄	1	4	yes	—
94	#343	C₂×C₄	1	4	yes	—
95	#335	—	2	8	no	—
96	#334	—	2	8	no	—
97	C₂⁵	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
102	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
103	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
111	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
125	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
134	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
137	C₄×D₄	—	2	2	no	—
138	C₄×D₄	—	2	2	no	—
139	C₄×D₄	—	2	2	no	—
140	C₄×D₄	—	2	2	no	—
141	C₄×D₄	—	2	4	no	—
142	C₄×D₄	—	2	4	no	—
143	C₄×D₄	—	2	4	no	—
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₄×D₄	—	2	2	no	—
146	C₄×D₄	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	2	no	—
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
168	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
173	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
174	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	#100	—	2	8	no	—
177	#100	—	4	4	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
182	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
183	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
184	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
186	#97	—	2	4	no	—
187	#97	—	2	4	no	—
188	C₄×C₈	—	2	4	no	—
189	C₄×C₈	—	2	4	no	—
190	C₄×C₈	—	2	4	no	—
191	C₄×C₈	—	4	2	no	—
192	C₂⁴	—	2	4	no	—
193	C₂⁴	—	2	2	no	—
194	C₂⁴	—	2	2	no	—
195	C₂⁴	—	4	2	no	—
196	C₂⁴	—	4	4	no	—
197	C₂⁴	—	4	4	no	—
198	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	8	no	—
209	C₂×D₄	—	4	8	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	#131	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
256	M₁₆	—	2	8	no	—
257	M₁₆	—	2	8	no	—
258	M₁₆	—	4	4	no	—
259	M₁₆	—	4	4	no	—
260	M₁₆	—	8	4	no	—
261	M₁₆	—	8	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	8	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₂×C₈	—	4	4	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	4	no	—
271	C₂×C₈	—	4	2	no	—
272	C₂×C₈	—	8	4	no	—
273	C₂×C₈	—	8	4	no	—
274	C₂×C₈	—	8	2	no	—
275	C₂×C₈	—	8	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
284	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
285	C₄²	#120	1	2	yes	—
286	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
287	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
288	C₄²	#123	1	2	yes	—
289	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	1	no	—
294	C₂³	—	2	1	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	—	2	2	no	—
300	C₂³	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	4	4	no	—
302	C₂³	—	4	2	no	—
303	C₂³	—	4	2	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	4	2	no	—
306	C₂³	—	4	16	no	—
307	C₂³	—	4	4	no	—
308	C₂³	—	4	4	no	—
309	C₂³	—	8	2	no	—
310	C₂³	—	8	2	no	—
311	C₂³	—	8	8	no	—
312	C₂³	#385	1	1	yes	characteristic
313	C₂³	#385	1	1	yes	characteristic
314	C₂³	#424	1	4	yes	—
315	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
316	D₄	—	2	8	no	—
317	D₄	—	4	8	no	—
318	D₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	1	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	1	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	8	2	no	—
346	C₂×C₄	—	8	2	no	—
347	C₂×C₄	—	8	2	no	—
348	C₂×C₄	—	8	2	no	—
349	C₂×C₄	—	8	2	no	—
350	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#453	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#455	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
362	C₈	—	4	4	no	—
363	C₈	—	4	8	no	—
364	C₈	—	4	4	no	—
365	C₈	—	4	4	no	—
366	C₈	—	8	2	no	—
367	C₂²	—	2	4	no	—
368	C₂²	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	2	1	no	—
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	2	1	no	—
373	C₂²	—	2	1	no	—
374	C₂²	—	2	1	no	—
375	C₂²	—	2	4	no	—
376	C₂²	—	4	4	no	—
377	C₂²	—	4	4	no	—
378	C₂²	—	4	2	no	—
379	C₂²	—	4	2	no	—
380	C₂²	—	4	2	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	8	2	no	—
384	C₂²	—	8	8	no	—
385	C₂²	—	8	8	no	—
386	C₂²	—	8	2	no	—
387	C₂²	#1856	1	2	yes	—
388	C₂²	#1858	1	2	yes	—
389	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂×#424	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#2905	1	1	yes	characteristic
392	C₄	—	2	2	no	—
393	C₄	—	2	1	no	—
394	C₄	—	2	1	no	—
395	C₄	—	2	2	no	—
396	C₄	—	2	2	no	—
397	C₄	—	4	2	no	—
398	C₄	—	4	2	no	—
399	C₄	#1856	1	2	yes	—
400	C₄	#2933	1	4	yes	—
401	C₄	C₂×#453	1	1	yes	characteristic
402	C₄	C₂×#455	1	1	yes	characteristic
403	C₂	—	2	1	no	—
404	C₂	—	2	2	no	—
405	C₂	—	2	2	no	—
406	C₂	—	2	1	no	—
407	C₂	—	4	4	no	—
408	C₂	—	8	2	no	—
409	C₂	#20836	1	1	yes	characteristic
410	C₂	C₂×#1856	1	1	yes	characteristic
411	C₂	C₂×#1858	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#385
prime radical	C₂³×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #17807	C₂	semidirect
5. #8837	C₂	semidirect
6. #8835	C₂	semidirect
7. #7885	C₂	semidirect
33. #1565	C₂²	semidirect
34. #1278	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60230	2
C₂×#1954	2
#20726	2
#17807	2
#8837	2
#8835	2
#7885	2