Subgroups — #192031

Order 512.

1072 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 373 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60277	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21373	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21349	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₄×#410	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#8852	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#7924	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	#2989	—	2	4	no	—
9	#2983	—	2	1	no	—
10	#2975	—	2	1	no	—
11	#2973	C₂²	1	4	yes	—
12	#2965	—	2	4	no	—
13	#2920	—	2	2	no	—
14	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#410	C₄	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
19	#1984	—	2	1	no	—
20	#1954	—	2	1	no	—
21	#1939	—	2	4	no	—
22	#1869	C₂²	1	4	yes	—
23	#1850	C₂²	1	8	yes	—
24	C₄×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
25	C₄×#99	C₄	1	4	yes	—
26	C₄×#99	C₂²	1	4	yes	—
27	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
28	#1740	C₄	1	1	yes	characteristic
29	#1740	C₄	1	1	yes	characteristic
30	#1282	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
33	C₄×#41	—	2	2	no	—
34	C₄×#41	—	2	2	no	—
35	C₄×#41	—	2	2	no	—
36	C₄×#41	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#117	Q₈	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#446	—	2	8	no	—
50	#436	—	2	8	no	—
51	#435	—	2	16	no	—
52	#432	—	2	4	no	—
53	#432	—	2	4	no	—
54	#431	—	2	4	no	—
55	#431	—	2	2	no	—
56	#431	—	2	2	no	—
57	#431	—	2	2	no	—
58	#431	—	2	2	no	—
59	#431	—	2	2	no	—
60	#431	—	2	2	no	—
61	#423	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
65	#410	—	2	8	no	—
66	C₂×#99	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	#407	—	2	4	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
71	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
82	#376	—	2	2	no	—
83	C₄³	—	2	2	no	—
84	#342	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	#342	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	#336	—	2	8	no	—
87	#336	—	2	4	no	—
88	C₂×#41	—	2	2	no	—
89	C₂×#41	—	2	2	no	—
90	C₂×#41	—	2	4	no	—
91	C₂×#41	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	—	2	2	no	—
93	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
107	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
108	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
111	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₄×D₄	—	2	4	no	—
113	C₄×D₄	—	2	4	no	—
114	C₄×D₄	—	2	4	no	—
115	C₄×D₄	—	2	4	no	—
116	C₄×D₄	—	2	2	no	—
117	C₄×D₄	—	2	2	no	—
118	C₄×D₄	—	2	2	no	—
119	C₄×D₄	—	2	2	no	—
120	#117	—	2	2	no	—
121	#117	—	2	2	no	—
122	#117	—	2	4	no	—
123	#117	—	2	4	no	—
124	#117	—	2	4	no	—
125	#117	—	2	4	no	—
126	#117	—	2	4	no	—
127	#117	M₁₆	1	8	yes	complemented
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
158	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
162	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
163	#99	—	2	16	no	—
164	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
165	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
166	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
167	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
168	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
169	#97	—	2	8	no	—
170	C₄×C₈	—	2	4	no	—
171	C₄×C₈	—	2	4	no	—
172	C₄×C₈	—	4	2	no	—
173	C₄×C₈	—	4	1	no	—
174	C₄×C₈	—	4	1	no	—
175	C₄×C₈	—	4	1	no	—
176	C₄×C₈	—	4	1	no	—
177	#95	—	2	4	no	—
178	#95	—	2	4	no	—
179	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
181	#41	—	4	4	no	—
182	#41	—	4	4	no	—
183	#41	—	4	4	no	—
184	#41	—	4	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
227	M₁₆	—	8	8	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	8	no	—
230	C₂×C₈	—	2	8	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	8	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	8	no	—
257	C₄²	—	4	8	no	—
258	C₄²	—	4	8	no	—
259	C₄²	—	4	4	no	—
260	C₄²	#120	1	2	yes	—
261	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
262	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
263	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
264	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
265	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
266	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
267	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
268	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	#123	1	2	yes	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	4	1	no	—
274	C₂³	—	4	1	no	—
275	C₂³	—	4	2	no	—
276	C₂³	—	4	2	no	—
277	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
279	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
280	C₂³	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
282	Q₈	—	4	4	no	—
283	D₄	—	4	4	no	—
284	D₄	—	4	4	no	—
285	D₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	1	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	1	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#423	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#423	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#424	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#424	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#435	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#435	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#436	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	#436	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
330	C₈	—	4	4	no	—
331	C₈	—	4	8	no	—
332	C₈	—	8	2	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	1	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	1	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	1	no	—
339	C₂²	—	4	1	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	8	2	no	—
345	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#423	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×#424	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×#435	1	2	yes	—
349	C₂²	C₂×#436	1	2	yes	—
350	C₄	—	2	1	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	2	1	no	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	4	8	no	—
355	C₄	—	4	2	no	—
356	C₄	—	4	2	no	—
357	C₄	—	4	2	no	—
358	C₄	—	8	4	no	—
359	C₄	#1851	1	2	yes	—
360	C₄	#1851	1	2	yes	—
361	C₄	#1851	1	4	yes	—
362	C₄	#1868	1	2	yes	—
363	C₄	#3025	1	2	yes	—
364	C₂	—	2	2	no	—
365	C₂	—	2	2	no	—
366	C₂	—	2	1	no	—
367	C₂	—	2	1	no	—
368	C₂	—	8	2	no	—
369	C₂	C₂×#1851	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#20888	1	1	yes	characteristic
371	C₂	C₂×#1868	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄²	#120
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#385
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21349	C₂	semidirect
5. #8852	C₂	semidirect
6. #7924	C₂	semidirect
127. #117	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60277	2
#21373	2
#21349	2
C₄×#410	2
#8852	2
#7924	2