Subgroups — #193719

Order 512.

1234 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 424 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2985	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21786	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1485	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1490	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#8952	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#8948	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#7878	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#7850	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3101	—	2	4	no	—
13	#3101	—	2	4	no	—
14	C₂×#483	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#476	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×#461	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×#450	C₄	1	2	yes	—
18	#2985	—	2	4	no	—
19	#2985	—	2	4	no	—
20	C₂×#446	—	2	2	no	—
21	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#433	—	2	2	no	—
25	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1954	—	2	2	no	—
31	#1954	C₂²	1	2	yes	—
32	#1954	C₂²	1	2	yes	—
33	#1779	—	2	2	no	—
34	#1490	—	2	4	no	—
35	#1485	—	2	4	no	—
36	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
38	#1277	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#1273	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#1273	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
43	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
45	#533	—	2	2	no	—
46	#533	—	2	2	no	—
47	#533	D₄	1	4	yes	—
48	#533	D₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#125	—	2	1	no	—
52	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#117	—	2	1	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#483	—	2	8	no	—
69	#476	—	2	8	no	—
70	#461	—	2	8	no	—
71	#450	—	2	8	no	—
72	#446	—	2	16	no	—
73	#446	—	2	4	no	—
74	#446	—	2	4	no	—
75	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
76	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
77	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
78	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
79	#433	—	2	16	no	—
80	#432	—	2	2	no	—
81	#432	D₄	1	4	yes	—
82	#431	—	2	2	no	—
83	#431	—	2	2	no	—
84	#431	—	2	2	no	—
85	#431	—	2	2	no	—
86	#431	—	2	2	no	—
87	#431	—	2	2	no	—
88	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
96	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
103	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×#97	—	2	2	no	—
106	C₂×#97	—	2	1	no	—
107	C₂×#97	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
115	D₄⋊C₈	—	2	8	no	—
116	C₂⁵	—	2	1	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
129	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
130	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
131	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
134	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
149	#125	—	2	4	no	—
150	#125	—	2	4	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
154	C₂²⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
155	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₄×D₄	—	2	4	no	—
162	C₄×D₄	—	2	4	no	—
163	C₄×D₄	—	2	2	no	—
164	C₄×D₄	—	2	2	no	—
165	C₄×D₄	—	2	2	no	—
166	C₄×D₄	—	2	2	no	—
167	C₄×D₄	—	4	2	no	—
168	C₄×D₄	—	4	2	no	—
169	C₄×D₄	—	4	2	no	—
170	C₄×D₄	—	4	2	no	—
171	#117	—	2	4	no	—
172	#117	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
197	#106	—	2	8	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
205	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
206	#103	—	2	8	no	—
207	#102	—	2	8	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
210	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
212	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
213	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
214	#97	—	2	8	no	—
215	#97	—	2	4	no	—
216	#97	—	4	2	no	—
217	C₄×C₈	—	2	8	no	—
218	C₄×C₈	—	2	2	no	—
219	C₄×C₈	—	2	2	no	—
220	C₄×C₈	—	2	1	no	—
221	C₄×C₈	—	2	1	no	—
222	C₄×C₈	—	2	1	no	—
223	C₄×C₈	—	2	1	no	—
224	C₄×C₈	—	2	2	no	—
225	C₄×C₈	—	2	2	no	—
226	C₄×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂⁴	—	2	4	no	—
228	C₂⁴	—	2	2	no	—
229	C₂⁴	—	4	2	no	—
230	C₂⁴	—	4	2	no	—
231	C₂⁴	—	8	2	no	—
232	C₂⁴	—	8	2	no	—
233	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
239	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×D₄	—	2	2	no	—
245	C₂×D₄	—	2	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	8	no	—
247	C₂×D₄	—	4	8	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	#131	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
268	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
280	SD₁₆	—	4	16	no	—
281	M₁₆	—	4	8	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	4	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₄²	—	2	4	no	—
312	C₄²	—	2	4	no	—
313	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
314	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
315	C₄²	#120	1	2	yes	—
316	C₄²	#121	1	2	yes	—
317	C₄²	#121	1	2	yes	—
318	C₄²	#123	1	2	yes	—
319	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	—	2	1	no	—
324	C₂³	—	2	1	no	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	2	2	no	—
327	C₂³	—	2	4	no	—
328	C₂³	—	4	8	no	—
329	C₂³	—	4	2	no	—
330	C₂³	—	4	4	no	—
331	C₂³	—	4	4	no	—
332	C₂³	—	4	2	no	—
333	C₂³	—	8	4	no	—
334	C₂³	—	8	4	no	—
335	C₂³	—	8	8	no	—
336	C₂³	—	8	8	no	—
337	C₂³	#386	1	2	yes	—
338	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
339	Q₈	—	2	8	no	—
340	Q₈	—	4	4	no	—
341	Q₈	—	8	4	no	—
342	D₄	—	2	4	no	—
343	D₄	—	2	4	no	—
344	D₄	—	4	8	no	—
345	D₄	—	4	2	no	—
346	D₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	1	no	—
348	C₂×C₄	—	2	1	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	8	8	no	—
366	C₂×C₄	—	8	4	no	—
367	C₂×C₄	—	8	4	no	—
368	C₂×C₄	—	8	2	no	—
369	C₂×C₄	—	8	2	no	—
370	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
382	C₈	—	4	4	no	—
383	C₈	—	4	4	no	—
384	C₈	—	4	2	no	—
385	C₈	—	4	2	no	—
386	C₈	—	4	4	no	—
387	C₈	—	8	2	no	—
388	C₂²	—	2	2	no	—
389	C₂²	—	2	2	no	—
390	C₂²	—	2	2	no	—
391	C₂²	—	4	2	no	—
392	C₂²	—	4	2	no	—
393	C₂²	—	4	8	no	—
394	C₂²	—	4	4	no	—
395	C₂²	—	8	16	no	—
396	C₂²	—	8	4	no	—
397	C₂²	—	8	2	no	—
398	C₂²	—	8	2	no	—
399	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	#2929	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	#2930	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	#2949	1	2	yes	—
403	C₂²	#2956	1	2	yes	—
404	C₄	—	2	2	no	—
405	C₄	—	2	1	no	—
406	C₄	—	2	1	no	—
407	C₄	—	2	2	no	—
408	C₄	—	2	2	no	—
409	C₄	—	4	4	no	—
410	C₄	—	4	4	no	—
411	C₄	—	8	2	no	—
412	C₄	#2880	1	2	yes	—
413	C₄	#2933	1	2	yes	—
414	C₄	#3010	1	2	yes	—
415	C₄	#3043	1	2	yes	—
416	C₂	—	4	2	no	—
417	C₂	—	8	4	no	—
418	C₂	#17924	1	2	yes	—
419	C₂	#17952	1	2	yes	—
420	C₂	#20899	1	1	yes	characteristic
421	C₂	#20918	1	1	yes	characteristic
422	C₂	#20936	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#431 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2985	C₂	semidirect
4. C₂×#1485	C₂	semidirect
6. #8952	C₂	semidirect
7. #8948	C₂	semidirect
8. #7878	C₂	semidirect
9. #7850	C₂	semidirect
21. C₂×#446	C₂²	semidirect
22. C₂×C₈×Q₈	C₂²	semidirect
36. C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	semidirect
38. #1277	C₂²	semidirect
39. #1273	C₂²	semidirect
40. #1273	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3101	2
C₂×#2985	2
#21786	2
C₂×#1485	2
C₂×#1490	2
#8952	2
#8948	2
#7878	2
#7850	2