Subgroups — #197751

Order 512.

1154 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 424 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21885	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂²×#332	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9226	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9218	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#8039	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#7873	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3209	—	2	4	no	—
13	#3209	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#494	—	2	1	no	—
15	C₂×#487	—	2	1	no	—
16	C₂×#462	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#451	—	2	2	no	—
18	#2962	—	2	4	no	—
19	#2962	—	2	4	no	—
20	C₂×#446	—	2	2	no	—
21	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#424	—	2	1	no	—
25	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#405	—	2	1	no	—
28	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1993	—	2	2	no	—
31	#1990	C₂²	1	4	yes	—
32	#1987	—	2	1	no	—
33	#1981	—	2	1	no	—
34	#1892	—	2	2	no	—
35	#1803	C₂²	1	4	yes	—
36	#1736	—	2	1	no	—
37	#1736	—	2	1	no	—
38	C₂×#332	—	2	4	no	—
39	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
41	#1296	C₂²	1	2	yes	—
42	#1296	C₂²	1	2	yes	—
43	#1277	C₂²	1	4	yes	—
44	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
49	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
50	#533	—	2	2	no	—
51	#533	—	2	2	no	—
52	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	#533	D₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#125	—	2	1	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#117	—	2	1	no	—
70	C₂×#117	—	2	1	no	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#494	—	2	8	no	—
75	#487	—	2	8	no	—
76	#462	—	2	8	no	—
77	#462	C₂×C₄	1	16	yes	—
78	#451	—	2	16	no	—
79	#446	—	2	16	no	—
80	#446	—	2	4	no	—
81	#446	—	2	4	no	—
82	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
83	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
84	#431	—	2	2	no	—
85	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	#424	—	2	8	no	—
87	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×#103	—	2	4	no	—
100	C₂×#103	—	2	4	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
102	#405	—	2	8	no	—
103	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×#97	—	2	2	no	—
106	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
110	#384	C₂³	1	2	yes	—
111	#382	—	2	1	no	—
112	#380	—	2	1	no	—
113	#380	—	2	1	no	—
114	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
115	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
116	#340	—	2	4	no	—
117	#340	—	2	4	no	—
118	#340	—	2	4	no	—
119	#332	—	2	4	no	—
120	#332	—	2	4	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
125	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
126	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
127	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
128	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
133	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	Q₁₆	1	4	yes	complemented
142	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
164	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
165	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
166	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
167	#125	—	2	4	no	—
168	#125	—	2	4	no	—
169	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
170	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
171	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
172	C₂²⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
173	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
175	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
176	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
177	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	#117	—	2	4	no	—
180	#117	—	2	4	no	—
181	#117	—	4	2	no	—
182	#117	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
204	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
214	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
215	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
216	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
217	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
218	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
219	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
220	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
221	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
222	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	#103	—	2	16	no	—
225	#103	—	8	4	no	—
226	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
227	#97	—	2	8	no	—
228	#97	—	2	4	no	—
229	C₄×C₈	—	2	8	no	—
230	C₄×C₈	—	2	4	no	—
231	C₄×C₈	—	2	2	no	—
232	C₄×C₈	—	2	2	no	—
233	#95	—	4	1	no	—
234	#95	—	4	1	no	—
235	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
247	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
248	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
250	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
276	Q₁₆	—	8	16	no	—
277	M₁₆	—	2	8	no	—
278	M₁₆	—	4	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	1	no	—
288	C₂×C₈	—	4	1	no	—
289	C₂×C₈	—	4	1	no	—
290	C₂×C₈	—	4	1	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	8	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	4	no	—
296	C₂×C₈	—	8	4	no	—
297	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
316	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
317	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
319	C₄²	—	2	4	no	—
320	C₄²	—	2	4	no	—
321	C₄²	—	8	2	no	—
322	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
323	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
324	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
325	C₄²	#120	1	2	yes	—
326	C₄²	#121	1	2	yes	—
327	C₄²	#123	1	2	yes	—
328	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
329	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
332	C₂³	—	2	2	no	—
333	C₂³	—	2	2	no	—
334	C₂³	#386	1	2	yes	—
335	C₂³	#462	1	2	yes	—
336	C₂³	#464	1	2	yes	—
337	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
338	Q₈	—	2	8	no	—
339	Q₈	—	4	2	no	—
340	Q₈	—	4	2	no	—
341	Q₈	—	4	8	no	—
342	Q₈	—	8	4	no	—
343	Q₈	—	8	8	no	—
344	Q₈	—	8	2	no	—
345	Q₈	—	8	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	8	8	no	—
360	C₂×C₄	—	8	4	no	—
361	C₂×C₄	—	8	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	2	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
368	C₂×C₄	#441	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	#451	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	#452	1	4	yes	—
371	C₂×C₄	#462	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#464	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
385	C₈	—	2	4	no	—
386	C₈	—	4	4	no	—
387	C₈	—	4	2	no	—
388	C₈	—	4	2	no	—
389	C₈	—	4	2	no	—
390	C₈	—	8	2	no	—
391	C₂²	—	2	2	no	—
392	C₂²	—	2	4	no	—
393	C₂²	—	2	4	no	—
394	C₂²	—	2	2	no	—
395	C₂²	#1878	1	4	yes	—
396	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	C₂×#462	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	C₂×#464	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	#3062	1	2	yes	—
400	C₂²	#3069	1	2	yes	—
401	C₄	—	2	1	no	—
402	C₄	—	2	1	no	—
403	C₄	—	2	2	no	—
404	C₄	—	2	2	no	—
405	C₄	—	4	4	no	—
406	C₄	—	4	4	no	—
407	C₄	—	8	4	no	—
408	C₄	—	16	2	no	—
409	C₄	#1878	1	4	yes	—
410	C₄	#2897	1	2	yes	—
411	C₄	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
412	C₄	C₂×#441	1	1	yes	characteristic
413	C₄	C₂×#451	1	1	yes	characteristic
414	C₄	C₂×#452	1	1	yes	characteristic
415	C₄	#3057	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#3058	1	1	yes	characteristic
417	C₂	—	2	4	no	—
418	C₂	#19240	1	2	yes	—
419	C₂	#19245	1	2	yes	—
420	C₂	C₂×#1878	1	1	yes	characteristic
421	C₂	#20975	1	1	yes	characteristic
422	C₂	#21006	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	#121
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #9226	C₂	semidirect
7. #9218	C₂	semidirect
13. #3209	C₄	semidirect
141. C₂×M₁₆	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3209	2
C₂×#2962	2
#21885	2
#21324	2
C₂²×#332	2
#9226	2
#9218	2
#8039	2
#7873	2