Subgroups — #200848

Order 512.

1392 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1555	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17596	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9425	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#7972	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#3138	—	2	2	no	—
10	#3138	—	2	2	no	—
11	#3138	C₄	1	4	yes	complemented
12	#3138	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#490	—	2	2	no	—
14	C₂×#486	C₄	1	4	yes	complemented
15	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#418	—	2	2	no	—
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2380	C₂²	1	4	yes	—
19	#2366	—	2	2	no	—
20	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
21	#2328	—	2	4	no	—
22	#2308	—	2	2	no	—
23	#2283	C₂²	1	2	yes	—
24	#1555	—	2	2	no	—
25	#1555	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#331	—	2	2	no	—
27	#1520	—	2	4	no	—
28	#1515	C₂²	1	8	yes	complemented
29	#1506	—	2	4	no	—
30	#1288	C₂²	1	8	yes	complemented
31	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
32	C₂³×D₄	D₄	1	2	yes	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
34	#533	—	2	1	no	—
35	#533	—	2	1	no	—
36	#533	—	2	2	no	—
37	#533	—	2	2	no	—
38	#533	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
39	#533	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
41	C₂×#127	—	2	2	no	—
42	C₂×#127	—	2	2	no	—
43	C₂×#127	—	2	2	no	—
44	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×#127	D₄	1	2	yes	—
47	C₂×#127	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×#127	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#125	—	2	1	no	—
51	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
54	C₂×#117	—	2	1	no	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#490	—	2	8	no	—
58	#490	—	2	8	no	—
59	#486	—	2	8	no	—
60	#486	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
61	#432	—	2	2	no	—
62	#432	—	2	2	no	—
63	#432	—	2	2	no	—
64	#432	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	#418	—	2	8	no	—
67	#418	—	2	8	no	—
68	C₂×#102	—	2	8	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
71	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
72	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
73	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#97	—	2	1	no	—
75	C₂×#97	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
77	#390	—	2	8	no	—
78	#386	—	2	8	no	—
79	#386	—	2	8	no	—
80	#386	—	2	16	no	—
81	#383	C₂³	1	4	yes	—
82	#382	—	2	2	no	—
83	#381	—	2	2	no	—
84	#380	D₄	1	4	yes	—
85	#379	—	2	4	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
88	#376	D₄	1	4	yes	—
89	#331	—	2	8	no	—
90	#328	—	2	16	no	—
91	C₂⁵	—	2	2	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
103	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
104	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
105	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
106	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
107	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
115	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
116	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
118	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	#127	—	2	4	no	—
120	#127	—	2	4	no	—
121	#127	—	2	4	no	—
122	#127	—	2	4	no	—
123	#127	—	2	4	no	—
124	#127	—	2	4	no	—
125	#127	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
126	#127	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
127	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	#125	—	2	2	no	—
130	#125	—	2	2	no	—
131	#125	—	4	2	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
139	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
140	C₄×D₄	—	8	16	no	—
141	#117	—	2	2	no	—
142	#117	—	2	2	no	—
143	#117	—	4	1	no	—
144	#117	—	4	1	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
166	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
167	#102	—	2	32	no	—
168	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
170	#97	—	2	2	no	—
171	#97	—	2	2	no	—
172	#97	—	2	4	no	—
173	#97	—	4	2	no	—
174	C₄×C₈	—	2	2	no	—
175	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	#95	—	2	4	no	—
177	#95	—	2	4	no	—
178	#95	—	2	4	no	—
179	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
180	C₂⁴	—	2	4	no	—
181	C₂⁴	—	2	4	no	—
182	C₂⁴	—	2	4	no	—
183	C₂⁴	—	4	8	no	—
184	C₂⁴	—	8	8	no	—
185	C₂⁴	#120	1	1	yes	characteristic
186	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	8	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	8	no	—
193	C₂×D₄	—	2	8	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	16	no	—
197	C₂×D₄	—	4	8	no	—
198	C₂×D₄	—	4	8	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	8	8	no	—
202	C₂×D₄	—	8	8	no	—
203	C₂×D₄	—	8	4	no	—
204	C₂×D₄	—	8	4	no	—
205	C₂×D₄	—	8	4	no	—
206	C₂×D₄	—	8	8	no	—
207	C₂×D₄	—	8	8	no	—
208	C₂×D₄	—	8	8	no	—
209	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	M₁₆	—	4	4	no	—
229	M₁₆	—	4	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	—	4	4	no	—
233	C₂×C₈	—	8	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
246	C₄²	—	4	8	no	—
247	C₄²	—	4	2	no	—
248	C₄²	—	4	2	no	—
249	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
252	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
253	C₄²	#121	1	2	yes	—
254	C₄²	#121	1	2	yes	—
255	C₄²	#123	1	2	yes	—
256	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
259	C₂³	—	2	8	no	—
260	C₂³	—	4	2	no	—
261	C₂³	—	4	16	no	—
262	C₂³	—	4	4	no	—
263	C₂³	—	4	4	no	—
264	C₂³	—	4	8	no	—
265	C₂³	—	4	8	no	—
266	C₂³	—	8	8	no	—
267	C₂³	—	8	8	no	—
268	C₂³	—	16	16	no	—
269	C₂³	#386	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	#386	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	#455	1	4	yes	—
272	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
273	Q₈	—	8	4	no	—
274	Q₈	—	8	4	no	—
275	D₄	—	4	8	no	—
276	D₄	—	4	16	no	—
277	D₄	—	4	16	no	—
278	D₄	—	8	4	no	—
279	D₄	—	8	4	no	—
280	D₄	—	8	4	no	—
281	D₄	—	8	8	no	—
282	D₄	—	8	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	—	16	16	no	—
301	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
309	C₈	—	4	4	no	—
310	C₈	—	8	4	no	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	—	4	4	no	—
315	C₂²	—	4	16	no	—
316	C₂²	—	4	8	no	—
317	C₂²	—	8	8	no	—
318	C₂²	—	8	8	no	—
319	C₂²	—	16	8	no	—
320	C₂²	—	16	8	no	—
321	C₂²	#1885	1	2	yes	—
322	C₂²	#1885	1	2	yes	—
323	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂×#455	1	2	yes	—
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	2	2	no	—
328	C₄	—	2	1	no	—
329	C₄	—	2	1	no	—
330	C₄	—	2	1	no	—
331	C₄	—	2	1	no	—
332	C₄	—	8	8	no	—
333	C₄	—	8	4	no	—
334	C₄	#1904	1	4	yes	—
335	C₂	—	2	2	no	—
336	C₂	—	2	2	no	—
337	C₂	—	2	2	no	—
338	C₂	—	8	8	no	—
339	C₂	C₂×#1885	1	1	yes	characteristic
340	C₂	C₂×#1904	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#386
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #17596	C₂	semidirect
5. #9425	C₂	semidirect
6. #7972	C₂	semidirect
11. #3138	C₄	semidirect
14. C₂×#486	C₄	semidirect
28. #1515	C₂²	semidirect
30. #1288	C₂²	semidirect
38. #533	C₂×C₄	semidirect
40. C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
60. #486	C₂×C₄	semidirect
72. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
76. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3138	2
#34364	2
C₂×#1555	2
#17596	2
#9425	2
#7972	2