Subgroups — #200960

Order 512.

1398 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 427 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2979	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#17738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#17717	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9437	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#9435	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#8060	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#575	—	2	2	no	—
9	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#3153	—	2	2	no	—
12	#3153	C₄	1	4	yes	—
13	#3152	—	2	1	no	—
14	#3152	C₂²	1	2	yes	—
15	#3151	—	2	1	no	—
16	#3151	C₂²	1	2	yes	—
17	#3150	C₄	1	4	yes	—
18	#3147	—	2	2	no	—
19	#2979	—	2	4	no	—
20	#2979	—	2	2	no	—
21	#2979	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#436	—	2	2	no	—
23	C₂×C₈×D₄	—	2	2	no	—
24	#2920	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#408	—	2	2	no	—
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1560	C₂²	1	4	yes	—
29	#1558	—	2	1	no	—
30	#1555	—	2	1	no	—
31	#1553	—	2	4	no	—
32	#1549	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#1545	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#1543	—	2	2	no	—
35	#1540	—	2	2	no	—
36	#1540	—	2	2	no	—
37	#1299	C₂²	1	8	yes	complemented
38	C₂²×#41	—	2	1	no	—
39	C₂²×#41	D₄	1	2	yes	—
40	#575	—	4	8	no	—
41	#575	—	4	8	no	—
42	C₂×#137	—	2	4	no	—
43	C₂×#137	—	2	4	no	—
44	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
45	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
46	C₂×#135	—	2	8	no	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
48	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	#532	—	2	2	no	—
53	#532	—	2	1	no	—
54	#532	—	2	1	no	—
55	#532	—	2	2	no	—
56	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	#532	D₄	1	2	yes	—
60	#532	D₄	1	2	yes	—
61	#532	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#124	—	2	1	no	—
67	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×#121	—	2	2	no	—
69	C₂×#121	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#497	—	2	4	no	—
74	#497	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	#496	—	2	4	no	—
76	#496	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	#495	—	2	8	no	—
78	#494	—	2	2	no	—
79	#493	—	2	2	no	—
80	#492	—	2	2	no	—
81	#492	—	2	2	no	—
82	#436	—	2	8	no	—
83	#436	—	2	8	no	—
84	C₈×D₄	—	2	8	no	—
85	C₈×D₄	—	2	8	no	—
86	#432	—	2	2	no	—
87	#432	—	2	2	no	—
88	#431	—	2	2	no	—
89	#431	—	2	2	no	—
90	#431	—	2	2	no	—
91	#431	—	2	2	no	—
92	#431	D₄	1	4	yes	—
93	#431	C₂³	1	4	yes	—
94	#423	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
97	#408	—	2	8	no	—
98	#408	—	2	8	no	—
99	#407	—	2	2	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
102	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
103	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
104	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
110	#333	—	2	4	no	—
111	#332	—	2	4	no	—
112	#332	—	2	4	no	—
113	#331	—	2	4	no	—
114	#331	—	2	4	no	—
115	#331	—	2	4	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	2	2	no	—
119	C₂×#41	—	2	2	no	—
120	C₂×#41	—	4	4	no	—
121	C₂×#41	—	4	4	no	—
122	C₂×#41	—	4	4	no	—
123	C₂×#41	—	4	4	no	—
124	C₂×#41	—	4	1	no	—
125	C₂×#41	—	4	1	no	—
126	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
127	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
135	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
140	#137	—	4	16	no	—
141	#137	—	4	8	no	—
142	#137	—	4	8	no	—
143	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
144	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
145	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
146	#135	—	4	32	no	—
147	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
148	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
149	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
150	C₂×D₈	—	2	8	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
157	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
162	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
166	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	#127	—	2	2	no	—
170	#127	—	2	2	no	—
171	#127	—	2	1	no	—
172	#127	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
173	#127	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	#124	—	2	2	no	—
176	#124	—	2	2	no	—
177	#124	—	2	4	no	—
178	#124	—	4	2	no	—
179	#124	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
180	#124	C₂²×C₄	1	4	yes	—
181	#121	—	2	4	no	—
182	#121	—	2	4	no	—
183	#121	—	2	4	no	—
184	#121	—	2	4	no	—
185	#121	—	2	4	no	—
186	#121	—	2	4	no	—
187	#121	—	4	2	no	—
188	#121	—	4	2	no	—
189	C₄×D₄	—	2	4	no	—
190	C₄×D₄	—	2	4	no	—
191	C₄×D₄	—	2	4	no	—
192	C₄×D₄	—	2	4	no	—
193	C₄×D₄	—	2	4	no	—
194	C₄×D₄	—	2	4	no	—
195	C₄×D₄	—	4	2	no	—
196	C₄×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
201	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
217	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
220	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
221	#97	—	2	2	no	—
222	#97	—	4	2	no	—
223	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
224	C₄×C₈	—	2	2	no	—
225	C₄×C₈	—	2	4	no	—
226	C₄×C₈	—	2	2	no	—
227	C₄×C₈	—	2	4	no	—
228	C₄×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂⁴	—	2	2	no	—
230	C₂⁴	—	4	1	no	—
231	C₂⁴	#123	1	1	yes	characteristic
232	#41	—	4	8	no	—
233	#41	—	4	4	no	—
234	#41	—	4	4	no	—
235	#41	—	4	8	no	—
236	#41	—	4	8	no	—
237	#41	—	8	4	no	—
238	#41	—	8	2	no	—
239	#41	—	8	2	no	—
240	#41	—	8	2	no	—
241	#41	—	8	2	no	—
242	#41	—	8	2	no	—
243	#41	—	8	2	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
250	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
251	C₂×D₄	—	2	4	no	—
252	C₂×D₄	—	2	4	no	—
253	C₂×D₄	—	2	2	no	—
254	C₂×D₄	—	2	4	no	—
255	C₂×D₄	—	2	4	no	—
256	C₂×D₄	—	2	4	no	—
257	C₂×D₄	—	2	2	no	—
258	C₂×D₄	—	4	8	no	—
259	C₂×D₄	—	4	4	no	—
260	C₂×D₄	—	4	2	no	—
261	C₂×D₄	—	4	2	no	—
262	C₂×D₄	—	4	2	no	—
263	C₂×D₄	—	4	2	no	—
264	C₂×D₄	—	4	1	no	—
265	C₂×D₄	—	4	2	no	—
266	C₂×D₄	—	8	4	no	—
267	C₂×D₄	—	8	4	no	—
268	C₂×D₄	—	8	4	no	—
269	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
282	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
294	Q₁₆	—	4	16	no	—
295	SD₁₆	—	4	16	no	—
296	SD₁₆	—	4	16	no	—
297	D₈	—	4	16	no	—
298	M₁₆	—	2	8	no	—
299	M₁₆	—	2	4	no	—
300	M₁₆	—	2	4	no	—
301	M₁₆	—	8	8	no	—
302	M₁₆	—	8	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	8	no	—
304	C₂×C₈	—	2	4	no	—
305	C₂×C₈	—	2	4	no	—
306	C₂×C₈	—	2	4	no	—
307	C₂×C₈	—	4	4	no	—
308	C₂×C₈	—	4	4	no	—
309	C₂×C₈	—	4	4	no	—
310	C₂×C₈	—	8	8	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
322	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
323	C₄²	#120	1	2	yes	—
324	C₄²	#121	1	2	yes	—
325	C₄²	#121	1	2	yes	—
326	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
327	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
329	C₂³	—	2	2	no	—
330	C₂³	—	2	4	no	—
331	C₂³	—	4	2	no	—
332	C₂³	—	4	8	no	—
333	C₂³	—	4	4	no	—
334	C₂³	—	4	2	no	—
335	C₂³	—	8	2	no	—
336	C₂³	—	8	4	no	—
337	C₂³	#386	1	1	yes	characteristic
338	C₂³	#386	1	1	yes	characteristic
339	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
340	Q₈	—	4	4	no	—
341	Q₈	—	4	4	no	—
342	Q₈	—	8	2	no	—
343	Q₈	—	8	1	no	—
344	Q₈	—	8	1	no	—
345	D₄	—	4	4	no	—
346	D₄	—	4	8	no	—
347	D₄	—	4	4	no	—
348	D₄	—	4	8	no	—
349	D₄	—	8	2	no	—
350	D₄	—	8	4	no	—
351	D₄	—	8	4	no	—
352	D₄	—	8	4	no	—
353	D₄	—	8	4	no	—
354	D₄	—	8	4	no	—
355	D₄	—	8	1	no	—
356	D₄	—	8	1	no	—
357	D₄	—	8	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	1	no	—
362	C₂×C₄	—	2	1	no	—
363	C₂×C₄	—	2	1	no	—
364	C₂×C₄	—	2	1	no	—
365	C₂×C₄	—	2	4	no	—
366	C₂×C₄	—	2	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	2	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	8	no	—
374	C₂×C₄	—	4	4	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	8	4	no	—
378	C₂×C₄	—	8	2	no	—
379	C₂×C₄	—	8	4	no	—
380	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	#386	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#453	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#453	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
390	C₈	—	2	8	no	—
391	C₈	—	4	4	no	—
392	C₈	—	4	4	no	—
393	C₈	—	8	4	no	—
394	C₂²	—	2	2	no	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	2	2	no	—
397	C₂²	—	2	1	no	—
398	C₂²	—	2	1	no	—
399	C₂²	—	4	8	no	—
400	C₂²	—	4	4	no	—
401	C₂²	—	8	2	no	—
402	C₂²	—	8	8	no	—
403	C₂²	—	8	4	no	—
404	C₂²	—	8	2	no	—
405	C₂²	—	16	4	no	—
406	C₂²	#1887	1	2	yes	—
407	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
408	C₄	—	2	2	no	—
409	C₄	—	2	2	no	—
410	C₄	—	2	2	no	—
411	C₄	—	2	1	no	—
412	C₄	—	2	1	no	—
413	C₄	—	4	4	no	—
414	C₄	—	8	2	no	—
415	C₄	#1887	1	2	yes	—
416	C₄	C₂×#453	1	1	yes	characteristic
417	C₄	C₂×#453	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#3067	1	4	yes	—
419	C₂	—	2	2	no	—
420	C₂	—	4	1	no	—
421	C₂	—	4	1	no	—
422	C₂	—	8	4	no	—
423	C₂	—	16	2	no	—
424	C₂	C₂×#1887	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#21003	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#386
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#386
prime radical	#60639	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2979	C₂	semidirect
3. #17738	C₂	semidirect
4. #17717	C₂	semidirect
5. #9437	C₂	semidirect
6. #9435	C₂	semidirect
7. #8060	C₂	semidirect
32. #1549	C₂²	semidirect
33. #1545	C₂²	semidirect
37. #1299	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60639	2
C₂×#2979	2
#17738	2
#17717	2
#9437	2
#9435	2
#8060	2