Subgroups — #202245

Order 512.

780 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21146	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄⋊C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9539	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#9535	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#7901	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#7901	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#7874	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#7848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#106	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×#423	—	2	1	no	—
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1940	—	2	2	no	—
21	#1939	C₂²	1	4	yes	—
22	C₄×#106	C₄	1	2	yes	—
23	C₄×#106	C₄	1	2	yes	—
24	C₄×#106	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄×#106	C₂²	1	2	yes	—
26	#1771	—	2	2	no	—
27	#1770	C₂²	1	2	yes	—
28	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#340	C₄	1	2	yes	—
30	#1728	—	2	1	no	—
31	#1728	—	2	1	no	—
32	#1279	C₂²	1	2	yes	—
33	#1279	C₂²	1	4	yes	—
34	#1279	C₂²	1	2	yes	—
35	#1277	C₂²	1	4	yes	—
36	#1273	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
39	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
46	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#431	—	2	2	no	—
49	#431	—	2	2	no	—
50	C₂×#106	—	2	8	no	—
51	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	#423	—	2	2	no	—
56	#423	—	2	2	no	—
57	#423	—	2	2	no	—
58	#423	—	4	4	no	—
59	#423	Q₈	1	4	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
67	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
68	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
69	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
70	C₂×#97	—	2	2	no	—
71	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#95	—	2	1	no	—
90	C₂×#95	—	2	1	no	—
91	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#336	—	2	4	no	—
96	#336	—	2	2	no	—
97	#336	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
103	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
114	C₂×M₁₆	SD₁₆	1	4	yes	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	#106	—	2	4	no	—
155	#106	—	2	4	no	—
156	#106	—	2	4	no	—
157	#106	M₁₆	1	8	yes	complemented
158	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
163	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
164	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
165	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
166	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
167	#97	—	2	4	no	—
168	#97	—	4	4	no	—
169	C₄×C₈	—	2	4	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	2	no	—
173	C₄×C₈	—	2	2	no	—
174	C₄×C₈	—	2	2	no	—
175	C₄×C₈	—	2	2	no	—
176	C₄×C₈	—	4	4	no	—
177	#95	—	2	1	no	—
178	#95	—	2	2	no	—
179	#95	—	2	1	no	—
180	#95	—	2	1	no	—
181	#95	—	2	2	no	—
182	#95	—	2	1	no	—
183	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
197	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	#125	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
213	M₁₆	—	2	8	no	—
214	M₁₆	—	4	8	no	—
215	M₁₆	—	4	4	no	—
216	M₁₆	—	8	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	8	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	4	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
237	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄⋊C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
247	C₄⋊C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
248	C₄²	—	4	1	no	—
249	C₄²	—	4	1	no	—
250	C₄²	—	4	1	no	—
251	C₄²	—	4	1	no	—
252	C₄²	—	4	2	no	—
253	C₄²	—	4	2	no	—
254	C₄²	—	4	4	no	—
255	C₄²	—	4	2	no	—
256	C₄²	—	4	2	no	—
257	C₄²	#117	1	2	yes	—
258	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
259	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
260	C₄²	#123	1	2	yes	—
261	C₄²	#125	1	2	yes	—
262	C₄²	#126	1	2	yes	—
263	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
264	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
266	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	#387	1	2	yes	—
270	C₂³	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
271	C₂³	#440	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	8	no	—
294	C₂×C₄	—	8	8	no	—
295	C₂×C₄	#387	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#387	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#387	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#440	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#476	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	#479	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#482	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	#483	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
316	C₈	—	2	4	no	—
317	C₈	—	2	4	no	—
318	C₈	—	4	2	no	—
319	C₈	—	4	2	no	—
320	C₈	—	4	4	no	—
321	C₈	—	8	2	no	—
322	C₈	—	8	2	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	#1920	1	4	yes	—
328	C₂²	C₂×#387	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
330	C₂²	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#440	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#2957	1	2	yes	—
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	2	1	no	—
335	C₄	—	2	1	no	—
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	4	4	no	—
338	C₄	—	4	4	no	—
339	C₄	—	8	2	no	—
340	C₄	—	8	2	no	—
341	C₄	#1920	1	4	yes	—
342	C₄	#2920	1	1	yes	characteristic
343	C₄	#2921	1	1	yes	characteristic
344	C₄	Q₈×M₁₆	1	2	yes	—
345	C₄	C₂×#476	1	1	yes	characteristic
346	C₄	C₂×#479	1	1	yes	characteristic
347	C₄	C₂×#483	1	1	yes	characteristic
348	C₄	C₂×#482	1	1	yes	characteristic
349	C₂	—	2	4	no	—
350	C₂	M₁₆×SD₁₆	1	2	yes	—
351	C₂	#18040	1	2	yes	—
352	C₂	#21023	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂×#1920	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#21043	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₄×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #9539	C₂	semidirect
5. #9535	C₂	semidirect
157. #106	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21146	2
C₂×C₄×#106	2
C₄⋊C₄×M₁₆	2
#9539	2
#9535	2
#7901	2
#7874	2
#7848	2