Subgroups — #202425

Order 512.

824 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21400	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21300	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1566	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9547	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9543	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#7897	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#1273	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#405	—	2	1	no	—
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1990	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#1990	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#1984	—	2	1	no	—
21	#1984	—	2	1	no	—
22	#1984	C₂²	1	2	yes	—
23	#1984	C₂²	1	2	yes	—
24	#1956	C₄	1	1	yes	characteristic
25	#1956	C₄	1	1	yes	characteristic
26	#1892	C₄	1	4	yes	—
27	#1770	—	2	1	no	—
28	#1770	C₂²	1	2	yes	—
29	C₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
30	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#103	C₂²	1	4	yes	—
32	#1729	—	2	1	no	—
33	#1729	—	2	1	no	—
34	#1729	—	2	1	no	—
35	#1566	—	2	4	no	—
36	C₂×#334	C₂²	1	4	yes	—
37	#1493	—	2	4	no	—
38	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
39	#1279	C₂²	1	4	yes	—
40	#1273	C₂²	1	2	yes	—
41	#1273	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
44	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
45	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
48	#533	—	2	2	no	—
49	#533	—	2	2	no	—
50	#533	—	2	2	no	—
51	#533	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#125	—	2	1	no	—
55	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
56	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#117	—	2	1	no	—
60	C₂×#117	—	2	1	no	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#423	—	2	2	no	—
63	#423	—	2	2	no	—
64	#423	—	2	2	no	—
65	#423	D₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#405	—	4	4	no	—
73	C₂×#97	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	#382	—	2	1	no	—
93	#380	—	2	1	no	—
94	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
98	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
99	#336	—	2	2	no	—
100	#336	—	2	2	no	—
101	#336	—	2	2	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	2	no	—
104	#336	—	2	2	no	—
105	#334	—	2	8	no	—
106	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
108	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
112	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
132	C₂²×C₈	SD₁₆	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	#125	—	4	2	no	—
144	#125	—	4	2	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
154	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
155	#117	—	4	2	no	—
156	#117	—	4	2	no	—
157	#117	—	4	2	no	—
158	#117	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
188	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	#103	—	2	8	no	—
190	#103	—	4	4	no	—
191	#97	—	4	4	no	—
192	C₄×C₈	—	2	2	no	—
193	C₄×C₈	—	2	2	no	—
194	C₄×C₈	—	2	2	no	—
195	C₄×C₈	—	2	2	no	—
196	C₄×C₈	—	2	2	no	—
197	C₄×C₈	—	2	2	no	—
198	C₄×C₈	—	2	1	no	—
199	C₄×C₈	—	2	1	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	C₄×C₈	—	2	1	no	—
202	C₄×C₈	—	2	1	no	—
203	C₄×C₈	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	—	4	4	no	—
205	C₄×C₈	—	4	2	no	—
206	#95	—	2	2	no	—
207	#95	—	2	2	no	—
208	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
240	M₁₆	—	4	8	no	—
241	M₁₆	—	8	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	1	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	1	no	—
247	C₂×C₈	—	2	1	no	—
248	C₂×C₈	—	2	8	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	1	no	—
253	C₂×C₈	—	2	1	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	1	no	—
258	C₂×C₈	—	2	1	no	—
259	C₂×C₈	—	2	1	no	—
260	C₂×C₈	—	4	8	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	4	8	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	#131	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₄²	—	4	2	no	—
290	C₄²	—	4	2	no	—
291	C₄²	—	4	2	no	—
292	C₄²	—	4	2	no	—
293	C₄²	#117	1	2	yes	—
294	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
295	C₄²	#121	1	2	yes	—
296	C₄²	#123	1	2	yes	—
297	C₄²	#124	1	2	yes	—
298	C₄²	#126	1	2	yes	—
299	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
301	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
302	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	—	2	1	no	—
304	C₂³	—	2	1	no	—
305	C₂³	—	2	1	no	—
306	C₂³	—	2	1	no	—
307	C₂³	#388	1	2	yes	—
308	C₂³	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
309	C₂³	#441	1	2	yes	—
310	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	4	4	no	—
312	Q₈	—	4	4	no	—
313	Q₈	—	8	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#441	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#443	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#444	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#461	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	#464	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	#483	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#485	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
357	C₈	—	2	2	no	—
358	C₈	—	2	2	no	—
359	C₈	—	2	4	no	—
360	C₈	—	4	4	no	—
361	C₈	—	4	1	no	—
362	C₈	—	4	1	no	—
363	C₈	—	4	2	no	—
364	C₈	—	4	4	no	—
365	C₈	—	8	2	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	#1927	1	4	yes	—
373	C₂²	C₂×#388	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#2931	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#2932	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×#441	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
380	C₄	—	2	2	no	—
381	C₄	—	2	1	no	—
382	C₄	—	2	1	no	—
383	C₄	—	8	2	no	—
384	C₄	—	8	2	no	—
385	C₄	—	8	2	no	—
386	C₄	—	8	2	no	—
387	C₄	#1927	1	4	yes	—
388	C₄	#1929	1	4	yes	—
389	C₄	#2925	1	2	yes	—
390	C₄	#2933	1	2	yes	—
391	C₄	C₂×#461	1	1	yes	characteristic
392	C₄	C₂×#464	1	1	yes	characteristic
393	C₄	C₂×#483	1	1	yes	characteristic
394	C₄	C₂×#485	1	1	yes	characteristic
395	C₂	—	2	4	no	—
396	C₂	#17957	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#17961	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#17976	1	1	yes	characteristic
399	C₂	#17980	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#21051	1	1	yes	characteristic
401	C₂	C₂×#1927	1	1	yes	characteristic
402	C₂	C₂×#1929	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₄×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #9547	C₂	semidirect
7. #9543	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21400	2
#21300	2
#20437	2
C₂×#1566	2
C₂×#1493	2
#9547	2
#9543	2
#7897	2
C₂×#1273	2