Subgroups — #202632

Order 512.

856 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 373 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21303	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21145	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20734	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂²×Q₈⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×C₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9557	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9553	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#7897	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#7877	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#424	—	2	1	no	—
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1985	—	2	2	no	—
19	#1984	C₂²	1	4	yes	—
20	#1940	—	2	2	no	—
21	#1939	C₂²	1	4	yes	—
22	#1824	C₄	1	2	yes	—
23	#1803	C₄	1	2	yes	—
24	#1803	C₄	1	2	yes	—
25	#1787	C₄	1	2	yes	—
26	C₄×#103	C₂²	1	4	yes	—
27	#1729	—	2	1	no	—
28	#1728	—	2	1	no	—
29	#1728	—	2	1	no	—
30	C₂×Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
31	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₈×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
36	#1279	C₂²	1	2	yes	—
37	#1279	C₂²	1	2	yes	—
38	#1277	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
41	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
44	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#117	—	2	1	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#431	—	2	2	no	—
59	#431	—	2	2	no	—
60	#424	—	4	4	no	—
61	#423	—	2	2	no	—
62	#423	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
76	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
77	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#382	—	2	1	no	—
87	#380	—	2	1	no	—
88	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	#336	—	2	4	no	—
94	#336	—	2	4	no	—
95	#336	—	2	4	no	—
96	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
97	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
98	#322	—	2	4	no	—
99	C₈²	—	2	4	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
105	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
118	C₂×M₁₆	SD₁₆	1	4	yes	—
119	C₂×M₁₆	Q₁₆	1	4	yes	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
134	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
140	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
141	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
142	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
143	#117	—	4	2	no	—
144	#117	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
174	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
176	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
177	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
178	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
179	#103	—	2	8	no	—
180	#103	—	4	4	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
182	#97	—	2	4	no	—
183	C₄×C₈	—	2	4	no	—
184	C₄×C₈	—	2	2	no	—
185	C₄×C₈	—	2	2	no	—
186	C₄×C₈	—	2	1	no	—
187	C₄×C₈	—	2	1	no	—
188	C₄×C₈	—	2	2	no	—
189	C₄×C₈	—	2	2	no	—
190	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	#95	—	2	2	no	—
193	#95	—	2	2	no	—
194	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
205	C₂×Q₈	#131	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
216	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	M₁₆	—	2	8	no	—
233	M₁₆	—	2	8	no	—
234	M₁₆	—	8	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	4	8	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	8	4	no	—
255	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
256	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
257	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄²	—	4	2	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₄²	#117	1	2	yes	—
274	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
275	C₄²	#121	1	2	yes	—
276	C₄²	#123	1	2	yes	—
277	C₄²	#124	1	2	yes	—
278	C₄²	#126	1	2	yes	—
279	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	#388	1	2	yes	—
286	C₂³	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
287	C₂³	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	2	4	no	—
290	Q₈	—	2	4	no	—
291	Q₈	—	4	8	no	—
292	Q₈	—	4	2	no	—
293	Q₈	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	4	no	—
312	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#465	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#467	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#487	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#488	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
333	C₈	—	2	4	no	—
334	C₈	—	2	4	no	—
335	C₈	—	2	4	no	—
336	C₈	—	4	2	no	—
337	C₈	—	4	2	no	—
338	C₈	—	4	2	no	—
339	C₈	—	8	2	no	—
340	C₈	—	8	2	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	4	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	#1933	1	4	yes	—
346	C₂²	C₂×#388	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#2933	1	2	yes	—
348	C₂²	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2956	1	2	yes	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	2	1	no	—
353	C₄	—	2	1	no	—
354	C₄	—	2	2	no	—
355	C₄	—	4	4	no	—
356	C₄	—	8	4	no	—
357	C₄	—	8	2	no	—
358	C₄	#1933	1	4	yes	—
359	C₄	#2924	1	2	yes	—
360	C₄	#2929	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#2930	1	1	yes	characteristic
362	C₄	C₂×#465	1	1	yes	characteristic
363	C₄	C₂×#467	1	1	yes	characteristic
364	C₄	C₂×#487	1	1	yes	characteristic
365	C₄	C₂×#488	1	1	yes	characteristic
366	C₂	—	2	4	no	—
367	C₂	#17997	1	2	yes	—
368	C₂	#17998	1	2	yes	—
369	C₂	#21050	1	1	yes	characteristic
370	C₂	C₂×#1933	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#21099	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₄×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #9557	C₂	semidirect
7. #9553	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21303	2
#21145	2
#20734	2
C₂²×Q₈⋊C₈	2
C₂×C₈×M₁₆	2
#9557	2
#9553	2
#7897	2
#7877	2