Subgroups — #202998

Order 512.

723 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 434 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21329	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1570	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17708	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1481	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9583	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9579	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#8079	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#7866	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#405	—	2	1	no	—
17	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1995	—	2	2	no	—
19	#1994	C₂²	1	4	yes	—
20	#1768	—	2	2	no	—
21	#1767	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	#1733	—	2	1	no	—
24	#1733	—	2	1	no	—
25	#1729	—	2	1	no	—
26	#1570	—	2	2	no	—
27	#1570	C₂²	1	2	yes	—
28	#1570	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#334	—	2	2	no	—
30	#1550	C₄	1	4	yes	complemented
31	#1549	C₄	1	2	yes	complemented
32	#1548	C₄	1	2	yes	complemented
33	#1542	C₂²	1	4	yes	—
34	#1481	—	2	2	no	—
35	#1481	C₂²	1	2	yes	—
36	#1481	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
38	#1301	C₂²	1	4	yes	—
39	#1276	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
42	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
43	#533	—	2	1	no	—
44	#533	—	2	1	no	—
45	#533	—	2	1	no	—
46	#533	—	2	1	no	—
47	#533	—	2	1	no	—
48	#533	—	2	1	no	—
49	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	#533	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#125	—	2	1	no	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
58	C₂×#117	—	2	1	no	—
59	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#431	—	2	1	no	—
63	#431	—	2	1	no	—
64	#431	—	2	1	no	—
65	#431	—	2	1	no	—
66	#431	—	2	1	no	—
67	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	#431	C₂³	1	2	yes	—
69	#431	C₂³	1	2	yes	—
70	#423	—	2	1	no	—
71	#423	—	2	1	no	—
72	#423	—	2	1	no	—
73	#423	—	2	1	no	—
74	#423	—	2	1	no	—
75	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#423	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
93	#405	—	4	4	no	—
94	C₂×#97	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
96	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
102	#376	D₄	1	2	yes	—
103	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
104	#339	—	2	4	no	—
105	#339	—	2	4	no	—
106	#336	—	2	2	no	—
107	#336	—	2	2	no	—
108	#334	—	2	4	no	—
109	#334	—	2	4	no	—
110	#333	C₂×C₄	1	8	yes	—
111	#332	C₂×C₄	1	8	yes	—
112	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
113	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
143	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	#125	—	2	2	no	—
146	#125	—	2	2	no	—
147	#125	—	4	1	no	—
148	#125	—	4	1	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
162	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
163	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
164	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	2	2	no	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	#117	—	4	1	no	—
171	#117	—	4	1	no	—
172	#117	SD₁₆	1	4	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
187	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
205	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
206	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
209	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
213	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
214	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
215	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
216	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
217	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
220	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
222	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
223	#97	—	4	4	no	—
224	C₄×C₈	—	2	2	no	—
225	C₄×C₈	—	2	2	no	—
226	C₄×C₈	—	2	2	no	—
227	C₄×C₈	—	4	1	no	—
228	C₄×C₈	—	4	4	no	—
229	#95	—	2	2	no	—
230	#95	—	2	2	no	—
231	C₂⁴	#123	1	1	yes	characteristic
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
237	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
244	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	#126	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	#126	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
266	M₁₆	—	4	4	no	—
267	M₁₆	—	4	4	no	—
268	M₁₆	—	4	2	no	—
269	M₁₆	—	4	2	no	—
270	M₁₆	—	8	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	4	no	—
276	C₂×C₈	—	4	1	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	1	no	—
281	C₂×C₈	—	4	1	no	—
282	C₂×C₈	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	4	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	8	2	no	—
287	C₂×C₈	—	8	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	—	2	2	no	—
308	C₄²	—	2	2	no	—
309	C₄²	—	4	4	no	—
310	C₄²	—	4	2	no	—
311	C₄²	—	4	2	no	—
312	C₄²	—	8	2	no	—
313	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
322	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
323	C₄²	#126	1	1	yes	characteristic
324	C₄²	#126	1	1	yes	characteristic
325	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
326	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
327	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
329	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
330	C₂³	—	4	1	no	—
331	C₂³	—	4	1	no	—
332	C₂³	#388	1	1	yes	characteristic
333	C₂³	#388	1	1	yes	characteristic
334	C₂³	#483	1	2	yes	—
335	C₂³	#485	1	2	yes	—
336	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
337	Q₈	—	4	4	no	—
338	Q₈	—	8	2	no	—
339	Q₈	—	8	2	no	—
340	Q₈	—	8	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	1	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	1	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	1	no	—
351	C₂×C₄	—	4	1	no	—
352	C₂×C₄	—	4	1	no	—
353	C₂×C₄	—	4	1	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	8	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	2	no	—
363	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#388	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#441	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#441	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#461	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#461	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#464	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#464	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#483	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#485	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
389	C₈	—	4	4	no	—
390	C₈	—	4	4	no	—
391	C₈	—	4	2	no	—
392	C₈	—	4	2	no	—
393	C₈	—	8	2	no	—
394	C₈	—	8	2	no	—
395	C₂²	—	2	1	no	—
396	C₂²	—	2	1	no	—
397	C₂²	—	2	1	no	—
398	C₂²	—	2	1	no	—
399	C₂²	—	2	1	no	—
400	C₂²	—	2	1	no	—
401	C₂²	—	4	2	no	—
402	C₂²	—	4	2	no	—
403	C₂²	#1927	1	2	yes	—
404	C₂²	#1927	1	2	yes	—
405	C₂²	C₂×#388	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	C₂×#483	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	C₂×#485	1	1	yes	characteristic
408	C₄	—	2	1	no	—
409	C₄	—	2	1	no	—
410	C₄	—	2	1	no	—
411	C₄	—	2	1	no	—
412	C₄	—	2	1	no	—
413	C₄	—	2	1	no	—
414	C₄	—	2	1	no	—
415	C₄	—	4	4	no	—
416	C₄	—	8	2	no	—
417	C₄	—	8	2	no	—
418	C₄	—	8	2	no	—
419	C₄	#1927	1	2	yes	—
420	C₄	#1927	1	2	yes	—
421	C₄	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
422	C₄	C₂×#441	1	1	yes	characteristic
423	C₄	#2955	1	2	yes	—
424	C₄	C₂×#461	1	1	yes	characteristic
425	C₄	C₂×#464	1	1	yes	characteristic
426	C₂	—	2	1	no	—
427	C₂	—	2	1	no	—
428	C₂	—	2	2	no	—
429	C₂	—	2	2	no	—
430	C₂	C₂×#1927	1	1	yes	characteristic
431	C₂	#21080	1	1	yes	characteristic
432	C₂	#21100	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#388
prime radical	C₂⁴	#123
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #9583	C₂	semidirect
7. #9579	C₂	semidirect
30. #1550	C₄	semidirect
31. #1549	C₄	semidirect
32. #1548	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21329	2
#20431	2
C₂×#1570	2
#17708	2
C₂×#1481	2
#9583	2
#9579	2
#8079	2
#7866	2