Subgroups — #20331

Order 256.

735 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 113 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#405	C₂	1	4	yes	maximal
2	C₂×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1726	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₄×#97	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#405	C₄	1	32	yes	complemented
12	C₄×M₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×#97	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#97	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	8	yes	—
20	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
21	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
22	#376	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
25	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
26	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
27	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
28	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
29	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
30	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
32	#117	C₂×C₄	1	16	yes	—
33	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	#97	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
46	C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₄×C₈	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
48	#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
51	C₂²×C₄	C₄²	1	8	yes	—
52	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
54	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
59	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
60	M₁₆	C₄²	1	32	yes	complemented
61	C₂×C₈	C₄²	1	32	yes	complemented
62	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
64	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
65	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
66	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
67	C₄⋊C₄	C₄²	1	16	yes	—
68	C₂²⋊C₄	C₄²	1	16	yes	—
69	C₄²	—	4	8	no	—
70	C₄²	C₄²	1	8	yes	—
71	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
72	C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
73	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
75	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂³	—	2	4	no	—
77	C₂³	C₂×C₄²	1	4	yes	—
78	C₂³	C₂×C₄²	1	2	yes	—
79	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄	—	2	16	no	—
82	C₂×C₄	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄	—	4	8	no	—
84	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
85	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
86	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	16	yes	—
87	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
88	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
89	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
90	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
91	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
94	C₈	C₂×C₄²	1	16	yes	—
95	C₈	C₂×C₄²	1	16	yes	—
96	C₂²	—	2	4	no	—
97	C₂²	—	2	8	no	—
98	C₂²	C₄³	1	4	yes	—
99	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
100	C₂²	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
101	C₂²	#568	1	4	yes	—
102	C₄	—	2	4	no	—
103	C₄	—	2	4	no	—
104	C₄	—	2	16	no	—
105	C₄	C₄³	1	4	yes	—
106	C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
107	C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
108	C₂	—	2	4	no	—
109	C₂	C₂×C₄³	1	1	yes	characteristic
110	C₂	#2873	1	2	yes	—
111	C₂	#2875	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂	C₂×C₄³
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #1726	C₂	semidirect
6. C₄×#97	C₂	semidirect
11. #405	C₄	semidirect
12. C₄×M₁₆	C₄	semidirect
13. C₂×#97	C₄	semidirect
45. #97	C₂×C₄	semidirect
47. C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
60. M₁₆	C₄²	semidirect
61. C₂×C₈	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#405	2
C₂×C₄×M₁₆	2
C₂²×#97	2
C₄×#117	2
#1726	2
C₄×#97	2