Subgroups — #203674

Order 512.

706 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21978	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20549	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1569	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1566	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9606	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9605	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9603	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9602	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#7876	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#7875	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#424	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1940	—	2	2	no	—
21	#1851	—	2	2	no	—
22	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1771	—	2	2	no	—
27	#1768	C₄	1	1	yes	characteristic
28	#1768	C₄	1	1	yes	characteristic
29	#1768	C₄	1	1	yes	characteristic
30	#1768	C₄	1	1	yes	characteristic
31	#1767	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
35	#1753	—	2	2	no	—
36	#1729	C₄	1	2	yes	—
37	#1569	—	2	4	no	—
38	#1566	—	2	4	no	—
39	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
43	#1277	C₂²	1	2	yes	—
44	#1277	C₂²	1	2	yes	—
45	#1277	C₂²	1	2	yes	—
46	#1277	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
48	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#432	—	2	2	no	—
55	#432	—	2	2	no	—
56	#432	—	2	2	no	—
57	#432	Q₈	1	4	yes	—
58	#424	—	2	8	no	—
59	#423	—	2	2	no	—
60	#423	—	2	2	no	—
61	#423	—	2	2	no	—
62	#423	D₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
79	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
80	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₂×#97	—	2	1	no	—
82	C₂×#97	—	2	1	no	—
83	C₂×#97	—	2	2	no	—
84	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
94	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
95	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
96	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
97	#376	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	#376	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#336	—	2	2	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	2	no	—
104	#336	—	2	2	no	—
105	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
107	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
109	#335	—	2	4	no	—
110	#334	—	2	4	no	—
111	#334	—	2	4	no	—
112	#334	—	2	4	no	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	#117	—	2	4	no	—
137	#117	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
172	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
173	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
174	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
175	C₄⋊C₈	M₁₆	1	8	yes	complemented
176	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
180	#97	—	2	2	no	—
181	#97	—	2	2	no	—
182	#97	—	2	4	no	—
183	#97	—	4	2	no	—
184	#97	—	8	2	no	—
185	C₄×C₈	—	2	2	no	—
186	C₄×C₈	—	2	2	no	—
187	C₄×C₈	—	2	2	no	—
188	C₄×C₈	—	2	2	no	—
189	C₄×C₈	—	2	2	no	—
190	C₄×C₈	—	2	2	no	—
191	C₄×C₈	—	8	2	no	—
192	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
193	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
194	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
195	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	#125	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
218	M₁₆	—	4	8	no	—
219	M₁₆	—	8	4	no	—
220	M₁₆	—	8	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	8	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	1	no	—
239	C₂×C₈	—	4	1	no	—
240	C₂×C₈	—	4	1	no	—
241	C₂×C₈	—	4	1	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
247	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	—	2	2	no	—
259	C₄²	—	4	2	no	—
260	C₄²	—	4	2	no	—
261	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
262	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
263	C₄²	#121	1	2	yes	—
264	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
265	C₄²	#125	1	2	yes	—
266	C₄²	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
267	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
268	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
271	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
272	C₂³	—	2	1	no	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	#389	1	2	yes	—
277	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#423	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
315	C₈	—	2	4	no	—
316	C₈	—	2	4	no	—
317	C₈	—	4	4	no	—
318	C₈	—	4	2	no	—
319	C₈	—	4	2	no	—
320	C₈	—	4	4	no	—
321	C₈	—	8	1	no	—
322	C₈	—	8	1	no	—
323	C₈	—	8	1	no	—
324	C₈	—	8	1	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#423	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#2905	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#2912	1	2	yes	—
334	C₂²	#2916	1	2	yes	—
335	C₄	—	2	4	no	—
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	2	1	no	—
339	C₄	—	2	1	no	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	4	2	no	—
342	C₄	—	4	2	no	—
343	C₄	—	4	2	no	—
344	C₄	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
345	C₄	Q₈×M₁₆	1	2	yes	—
346	C₄	#3042	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#3043	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#3084	1	2	yes	—
349	C₂	—	4	2	no	—
350	C₂	#17798	1	2	yes	—
351	C₂	#17824	1	2	yes	—
352	C₂	#21146	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#21174	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#21178	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #9606	C₂	semidirect
7. #9605	C₂	semidirect
8. #9603	C₂	semidirect
9. #9602	C₂	semidirect
175. C₄⋊C₈	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21978	2
#20549	2
C₄×#424	2
C₂×#1569	2
C₂×#1566	2
#9606	2
#9605	2
#9603	2
#9602	2
#7876	2
#7875	2