Subgroups — #20378

Order 256.

813 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 196 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#408	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#405	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1750	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1749	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×#41	—	2	8	no	—
13	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₄	C₄	1	4	yes	—
16	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
20	#408	C₄	1	16	yes	complemented
21	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
23	#405	—	2	8	no	—
24	C₂×#97	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	—
26	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#336	C₂²	1	2	yes	—
29	#336	C₂²	1	2	yes	—
30	#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#41	—	2	4	no	—
32	C₂×#41	—	2	2	no	—
33	C₂×#41	—	2	2	no	—
34	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
43	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
45	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
47	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
48	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
51	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
52	C₄×D₄	—	2	8	no	—
53	C₄×D₄	—	2	16	no	—
54	#117	—	2	8	no	—
55	#117	D₄	1	8	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
62	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
68	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
69	#97	—	2	8	no	—
70	C₄×C₈	—	2	8	no	—
71	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
72	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
73	#41	—	2	16	no	—
74	#41	—	2	16	no	—
75	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
76	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
77	C₂×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
78	C₂×D₄	—	2	4	no	—
79	C₂×D₄	—	2	4	no	—
80	C₂×D₄	—	2	2	no	—
81	C₂×D₄	—	2	2	no	—
82	C₂×D₄	C₄²	1	8	yes	—
83	C₂×D₄	C₄²	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
89	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
90	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
92	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
93	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
102	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
103	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	M₁₆	—	2	16	no	—
105	C₂×C₈	—	2	16	no	—
106	C₂×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
115	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
116	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
117	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
119	C₄²	—	2	8	no	—
120	C₄²	—	2	4	no	—
121	C₄²	—	2	2	no	—
122	C₄²	—	2	2	no	—
123	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
124	C₂³	—	2	2	no	—
125	C₂³	—	2	2	no	—
126	C₂³	—	2	2	no	—
127	C₂³	—	2	2	no	—
128	C₂³	—	2	4	no	—
129	C₂³	—	2	4	no	—
130	C₂³	C₂×C₄²	1	4	yes	—
131	C₂³	C₂×C₄²	1	2	yes	—
132	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂³	#117	1	2	yes	—
134	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
135	Q₈	—	2	8	no	—
136	D₄	—	2	16	no	—
137	D₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄	—	4	16	no	—
150	C₂×C₄	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
152	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
153	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
154	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
156	C₂×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
157	C₂×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
158	C₂×C₄	#131	1	4	yes	—
159	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
163	C₈	—	2	4	no	—
164	C₈	—	2	4	no	—
165	C₈	—	2	8	no	—
166	C₂²	—	2	2	no	—
167	C₂²	—	2	2	no	—
168	C₂²	—	2	4	no	—
169	C₂²	—	2	4	no	—
170	C₂²	—	2	4	no	—
171	C₂²	—	2	4	no	—
172	C₂²	—	2	4	no	—
173	C₂²	—	4	4	no	—
174	C₂²	—	4	4	no	—
175	C₂²	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
176	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
177	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
179	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
180	C₂²	#568	1	2	yes	—
181	C₄	—	2	4	no	—
182	C₄	—	2	8	no	—
183	C₄	—	2	4	no	—
184	C₄	—	4	2	no	—
185	C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
186	C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
187	C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
188	C₂	—	2	4	no	—
189	C₂	—	4	4	no	—
190	C₂	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂	C₄×#131	1	1	yes	characteristic
192	C₂	#2875	1	1	yes	characteristic
193	C₂	#2880	1	2	yes	—
194	C₂	#2925	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#405	C₂	semidirect
4. #1750	C₂	semidirect
5. #1749	C₂	semidirect
6. C₄×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
7. #1728	C₂	semidirect
8. C₂×#336	C₂	semidirect
20. #408	C₄	semidirect
44. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
47. C₂²×C₈	C₂×C₄	semidirect
67. C₂²⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
68. C₂²⋊C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#41	2
C₂×#408	2
C₂×#405	2
#1750	2
#1749	2
C₄×C₂²⋊C₈	2
#1728	2
C₂×#336	2