Subgroups — #20401

Order 256.

722 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 217 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#410	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#2873	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1757	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂×#344	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	#568	—	2	4	no	—
9	#568	—	2	4	no	—
10	C₂×#131	C₄	1	4	yes	complemented
11	C₂×#131	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×M₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
17	#413	C₄	1	4	yes	complemented
18	#413	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#101	C₄	1	2	yes	complemented
20	C₂×#100	C₄	1	2	yes	complemented
21	#410	C₄	1	4	yes	—
22	#410	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#99	C₄	1	4	yes	—
24	#405	—	2	4	no	—
25	#405	C₂²	1	8	yes	complemented
26	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
27	#344	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂×#41	—	2	2	no	—
29	C₂×#41	—	2	2	no	—
30	C₂×#41	—	2	2	no	—
31	C₂×#41	—	2	2	no	—
32	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	#131	—	2	16	no	—
42	#131	—	2	16	no	—
43	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
45	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
49	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
50	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
56	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
57	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
58	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
63	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	#117	—	2	2	no	—
65	#117	—	2	2	no	—
66	#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#117	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
71	#101	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
72	#100	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
73	#99	C₂×C₄	1	16	yes	—
74	#97	—	2	8	no	—
75	C₄×C₈	—	2	8	no	—
76	C₂⁴	C₄²	1	2	yes	—
77	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	#41	—	2	4	no	—
79	#41	—	2	4	no	—
80	#41	—	2	4	no	—
81	#41	—	2	4	no	—
82	#41	—	2	4	no	—
83	#41	—	2	4	no	—
84	#41	—	2	4	no	—
85	#41	—	2	4	no	—
86	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
87	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
88	C₂×Q₈	C₄²	1	2	yes	—
89	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂×D₄	—	2	4	no	—
91	C₂×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂×D₄	C₄²	1	4	yes	—
95	C₂×D₄	C₄²	1	2	yes	—
96	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₄	C₄²	1	2	yes	—
104	C₂²×C₄	C₄²	1	4	yes	—
105	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
114	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	M₁₆	—	2	2	no	—
117	M₁₆	—	2	2	no	—
118	M₁₆	—	2	4	no	—
119	M₁₆	—	2	4	no	—
120	M₁₆	—	2	4	no	—
121	M₁₆	—	2	4	no	—
122	M₁₆	—	2	16	no	—
123	M₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
124	M₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
126	M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
127	C₂×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂×C₈	—	2	16	no	—
132	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
139	C₄²	—	2	4	no	—
140	C₄²	—	2	4	no	—
141	C₂³	—	2	2	no	—
142	C₂³	—	2	2	no	—
143	C₂³	—	8	1	no	—
144	C₂³	—	8	2	no	—
145	C₂³	C₂×C₄²	1	4	yes	—
146	C₂³	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
147	C₂³	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
148	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
149	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
150	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
151	Q₈	—	2	4	no	—
152	Q₈	—	2	4	no	—
153	D₄	—	2	8	no	—
154	D₄	—	2	8	no	—
155	D₄	—	2	4	no	—
156	D₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄	—	8	4	no	—
165	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
166	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
174	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
184	C₈	—	2	4	no	—
185	C₈	—	2	8	no	—
186	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
187	C₂²	—	2	4	no	—
188	C₂²	—	4	2	no	—
189	C₂²	—	4	1	no	—
190	C₂²	—	4	1	no	—
191	C₂²	—	4	2	no	—
192	C₂²	—	4	1	no	—
193	C₂²	—	4	4	no	—
194	C₂²	—	8	2	no	—
195	C₂²	—	8	2	no	—
196	C₂²	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
200	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
201	C₄	—	2	4	no	—
202	C₄	—	4	8	no	—
203	C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
208	C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
209	C₂	—	2	2	no	—
210	C₂	—	2	1	no	—
211	C₂	—	2	1	no	—
212	C₂	—	2	1	no	—
213	C₂	—	2	2	no	—
214	C₂	—	4	4	no	—
215	C₂	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂	C₂×C₄×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂²×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #2873	C₂	semidirect
5. #1757	C₂	semidirect
6. C₂×#344	C₂	semidirect
10. C₂×#131	C₄	semidirect
12. C₂²×M₁₆	C₄	semidirect
17. #413	C₄	semidirect
19. C₂×#101	C₄	semidirect
20. C₂×#100	C₄	semidirect
25. #405	C₂²	semidirect
27. #344	C₂²	semidirect
55. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
62. C₂²×C₈	C₂×C₄	semidirect
71. #101	C₂×C₄	semidirect
72. #100	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#568	2
C₂×#413	2
C₂×#410	2
#2873	2
#1757	2
C₂×#344	2