Subgroups — #20405

Order 256.

781 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 277 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#421	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#2873	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1759	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₄×#104	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1733	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#520	—	2	2	no	—
14	#520	C₄	1	4	yes	complemented
15	#519	C₄	1	2	yes	complemented
16	#518	—	2	2	no	—
17	#518	C₄	1	2	yes	complemented
18	C₄×#41	—	2	2	no	—
19	C₄×#41	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#117	—	2	2	no	—
21	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#421	C₄	1	8	yes	complemented
26	C₂×#104	C₄	1	8	yes	complemented
27	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#104	C₂²	1	4	yes	—
30	#405	—	2	2	no	—
31	#405	—	2	2	no	—
32	C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
34	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
35	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₄³	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#339	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#339	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#339	C₂²	1	4	yes	complemented
40	C₂×#41	—	2	1	no	—
41	C₂×#41	—	2	1	no	—
42	C₂×#41	—	2	2	no	—
43	C₂×#41	—	2	2	no	—
44	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
52	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
53	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
55	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
58	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
59	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
60	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
64	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
65	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	C₄×D₄	—	2	8	no	—
67	C₄×D₄	—	2	4	no	—
68	C₄×D₄	—	2	8	no	—
69	C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
70	#117	—	2	1	no	—
71	#117	—	2	1	no	—
72	#117	—	2	2	no	—
73	#117	—	2	4	no	—
74	#117	—	2	4	no	—
75	#117	—	2	4	no	—
76	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#117	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
80	#117	D₄	1	2	yes	—
81	#117	D₄	1	2	yes	—
82	#117	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
97	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
101	#104	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
102	#104	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
103	#104	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
104	#97	—	2	4	no	—
105	C₄×C₈	—	2	4	no	—
106	#95	—	2	4	no	—
107	C₂⁴	—	2	1	no	—
108	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	#41	—	2	4	no	—
110	#41	—	2	4	no	—
111	#41	—	2	4	no	—
112	#41	—	2	4	no	—
113	#41	—	2	4	no	—
114	#41	—	2	2	no	—
115	#41	—	2	2	no	—
116	#41	C₄²	1	8	yes	complemented
117	#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
120	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂×Q₈	C₄²	1	4	yes	complemented
122	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂×D₄	—	2	1	no	—
128	C₂×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂×D₄	C₄²	1	4	yes	complemented
130	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
143	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
152	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	M₁₆	—	2	4	no	—
155	M₁₆	—	2	4	no	—
156	M₁₆	—	2	2	no	—
157	M₁₆	—	2	2	no	—
158	M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
159	M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
160	C₂×C₈	—	2	4	no	—
161	C₂×C₈	—	2	4	no	—
162	C₂×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂×C₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
168	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
170	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
175	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
176	C₄²	—	2	8	no	—
177	C₄²	—	2	2	no	—
178	C₄²	—	2	4	no	—
179	C₄²	—	2	2	no	—
180	C₄²	—	2	1	no	—
181	C₄²	—	2	1	no	—
182	C₄²	—	2	2	no	—
183	C₄²	—	4	8	no	—
184	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
186	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
187	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
188	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂³	—	2	2	no	—
190	C₂³	—	2	4	no	—
191	C₂³	—	4	2	no	—
192	C₂³	—	8	2	no	—
193	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
196	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
197	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	Q₈	—	2	2	no	—
199	Q₈	—	2	4	no	—
200	Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
201	D₄	—	2	4	no	—
202	D₄	—	2	4	no	—
203	D₄	—	2	8	no	—
204	D₄	—	2	2	no	—
205	D₄	—	2	4	no	—
206	D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
207	C₂×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂×C₄	—	4	8	no	—
219	C₂×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂×C₄	—	8	8	no	—
222	C₂×C₄	—	8	2	no	—
223	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
224	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
225	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
226	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
229	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
230	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
231	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
234	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
235	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
236	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
242	C₈	—	2	4	no	—
243	C₈	—	2	4	no	—
244	C₂²	—	2	2	no	—
245	C₂²	—	2	2	no	—
246	C₂²	—	2	2	no	—
247	C₂²	—	2	4	no	—
248	C₂²	—	4	2	no	—
249	C₂²	—	4	2	no	—
250	C₂²	—	4	4	no	—
251	C₂²	—	8	4	no	—
252	C₂²	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
253	C₂²	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
254	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₄	—	2	4	no	—
258	C₄	—	2	8	no	—
259	C₄	—	2	4	no	—
260	C₄	—	4	4	no	—
261	C₄	—	4	2	no	—
262	C₄	—	4	4	no	—
263	C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
266	C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
267	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂	—	2	1	no	—
270	C₂	—	2	1	no	—
271	C₂	—	2	2	no	—
272	C₂	—	2	2	no	—
273	C₂	—	4	4	no	—
274	C₂	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂	#2901	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #2873	C₂	semidirect
5. C₄×#117	C₂	semidirect
6. #1759	C₂	semidirect
7. C₄×#104	C₂	semidirect
8. #1733	C₂	semidirect
9. C₂×#339	C₂	semidirect
14. #520	C₄	semidirect
15. #519	C₄	semidirect
17. #518	C₄	semidirect
25. #421	C₄	semidirect
26. C₂×#104	C₄	semidirect
32. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
35. #376	C₂²	semidirect
36. C₄³	C₂²	semidirect
37. #339	C₂²	semidirect
38. #339	C₂²	semidirect
39. #339	C₂²	semidirect
58. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
59. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
65. C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
69. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
79. #117	C₂×C₄	semidirect
96. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect
101. #104	C₂×C₄	semidirect
102. #104	C₂×C₄	semidirect
103. #104	C₂×C₄	semidirect
116. #41	C₄²	semidirect
121. C₂×Q₈	C₄²	semidirect
129. C₂×D₄	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3428	2
C₂×#421	2
C₂²×#104	2
#2873	2
C₄×#117	2
#1759	2
C₄×#104	2
#1733	2
C₂×#339	2