Subgroups — #204093

Order 512.

1240 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1842	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20463	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1481	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1480	C₂	1	2	yes	maximal
6	#9646	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9640	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
12	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	#2862	C₄	1	1	yes	characteristic
14	#2862	C₄	1	1	yes	characteristic
15	#2861	—	2	2	no	—
16	#2858	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#2858	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#2850	—	2	2	no	—
19	#2850	C₄	1	2	yes	—
20	#2850	C₄	1	2	yes	—
21	C₄×#124	—	2	2	no	—
22	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
24	#2297	—	2	2	no	—
25	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1842	—	2	2	no	—
27	#1842	C₂²	1	2	yes	—
28	#1842	C₂²	1	2	yes	—
29	#1767	—	2	2	no	—
30	#1749	—	2	2	no	—
31	#1744	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
33	#1481	—	2	8	no	—
34	#1480	—	2	8	no	—
35	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
36	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
37	C₂²×#41	—	2	1	no	—
38	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
39	#533	—	2	4	no	—
40	#533	—	2	4	no	—
41	#532	—	2	4	no	—
42	#532	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#125	—	2	1	no	—
48	C₂×#124	—	2	2	no	—
49	C₂×#124	—	2	1	no	—
50	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×#121	—	2	1	no	—
55	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#117	—	2	1	no	—
61	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#431	—	2	4	no	—
67	#431	D₄	1	8	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×#97	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
79	#391	—	2	2	no	—
80	#391	—	2	2	no	—
81	#391	—	2	2	no	—
82	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#390	—	2	2	no	—
85	#390	—	2	2	no	—
86	#390	—	2	2	no	—
87	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#388	—	2	4	no	—
90	#388	—	2	4	no	—
91	#388	—	2	4	no	—
92	#388	—	2	4	no	—
93	#386	—	2	4	no	—
94	#386	—	2	4	no	—
95	#382	—	2	2	no	—
96	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
99	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₄³	D₄	1	2	yes	—
103	C₄³	D₄	1	2	yes	—
104	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#336	—	2	4	no	—
107	Q₈⋊C₈	—	2	16	no	—
108	D₄⋊C₈	—	2	16	no	—
109	C₂×#41	—	4	2	no	—
110	C₂×#41	—	4	2	no	—
111	C₂×#41	—	4	4	no	—
112	C₂×#41	—	4	4	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
115	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
133	#127	—	2	4	no	—
134	#125	—	4	4	no	—
135	#124	—	2	8	no	—
136	#124	—	4	4	no	—
137	#124	—	4	8	no	—
138	#124	—	4	4	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
141	#121	—	2	8	no	—
142	#121	—	4	4	no	—
143	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
144	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
145	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
146	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	4	no	—
148	C₄×D₄	—	2	4	no	—
149	C₄×D₄	—	4	2	no	—
150	C₄×D₄	—	4	2	no	—
151	#117	—	4	2	no	—
152	#117	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
198	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
199	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
201	#97	—	4	8	no	—
202	C₄×C₈	—	2	4	no	—
203	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
204	#95	—	2	4	no	—
205	#95	—	2	4	no	—
206	#95	—	2	4	no	—
207	#95	—	2	4	no	—
208	C₂⁴	—	2	2	no	—
209	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
210	#41	—	8	8	no	—
211	#41	—	8	4	no	—
212	#41	—	8	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	8	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₈	—	2	8	no	—
262	C₂×C₈	—	4	8	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	4	8	no	—
265	C₂×C₈	—	8	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	—	2	4	no	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	2	4	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₄²	—	4	2	no	—
295	C₄²	—	4	2	no	—
296	C₄²	—	4	2	no	—
297	C₄²	—	4	2	no	—
298	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
299	C₄²	#121	1	4	yes	—
300	C₄²	#124	1	2	yes	—
301	C₄²	#127	1	2	yes	—
302	C₄²	#131	1	4	yes	—
303	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
305	C₂³	—	2	1	no	—
306	C₂³	—	2	1	no	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	—	4	2	no	—
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	—	4	4	no	—
311	C₂³	—	4	4	no	—
312	C₂³	—	4	2	no	—
313	C₂³	#390	1	2	yes	—
314	C₂³	#417	1	4	yes	—
315	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	4	8	no	—
317	Q₈	—	8	4	no	—
318	Q₈	—	8	4	no	—
319	D₄	—	4	8	no	—
320	D₄	—	8	4	no	—
321	D₄	—	8	8	no	—
322	D₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	16	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	8	4	no	—
349	C₂×C₄	—	8	2	no	—
350	C₂×C₄	—	8	2	no	—
351	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#408	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	#489	1	8	yes	—
358	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	#497	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
368	C₈	—	4	8	no	—
369	C₈	—	8	4	no	—
370	C₂²	—	2	4	no	—
371	C₂²	—	2	4	no	—
372	C₂²	—	2	2	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	8	4	no	—
375	C₂²	—	8	4	no	—
376	C₂²	—	8	2	no	—
377	C₂²	—	8	2	no	—
378	C₂²	—	8	2	no	—
379	C₂²	#1959	1	4	yes	—
380	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#2879	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
384	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	2	4	no	—
387	C₄	—	2	2	no	—
388	C₄	—	2	2	no	—
389	C₄	—	2	2	no	—
390	C₄	—	4	2	no	—
391	C₄	—	4	2	no	—
392	C₄	—	8	2	no	—
393	C₄	—	8	2	no	—
394	C₄	—	8	2	no	—
395	C₄	#1959	1	4	yes	—
396	C₄	#2935	1	4	yes	—
397	C₄	C₂×#489	1	2	yes	—
398	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
399	C₄	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
400	C₂	—	2	4	no	—
401	C₂	—	16	2	no	—
402	C₂	#17466	1	2	yes	—
403	C₂	#17498	1	2	yes	—
404	C₂	#21189	1	1	yes	characteristic
405	C₂	C₂×#1959	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#21209	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1842	C₂	semidirect
3. #20463	C₂	semidirect
4. C₂×#1481	C₂	semidirect
6. #9646	C₂	semidirect
7. #9640	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36639	2
C₂×#1842	2
#20463	2
C₂×#1481	2
C₂×#1480	2
#9646	2
#9640	2