Subgroups — #204111

Order 512.

1962 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20791	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1486	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#9644	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#9638	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄×D₄	—	2	2	no	—
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#423	—	2	2	no	—
12	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
13	C₄×#127	—	2	2	no	—
14	C₄×#127	—	2	2	no	—
15	C₄×#127	C₄	1	2	yes	—
16	C₄×#127	C₄	1	2	yes	—
17	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#390	—	2	2	no	—
20	C₂×#390	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×#384	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1842	—	2	2	no	—
24	#1842	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#1842	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
27	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
28	#1744	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#1486	—	2	16	no	—
31	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	16	yes	complemented
32	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
33	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
36	C₂×#127	—	2	8	no	—
37	C₂×#127	—	2	2	no	—
38	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	4	8	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	4	8	no	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#431	—	2	4	no	—
62	#431	D₄	1	8	yes	complemented
63	#423	—	2	8	no	—
64	#423	—	4	8	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
73	#390	—	2	4	no	—
74	#390	—	2	4	no	—
75	#390	—	2	4	no	—
76	#390	—	2	4	no	—
77	#390	—	2	4	no	—
78	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#384	—	2	2	no	—
81	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₄³	D₄	1	2	yes	—
86	C₄³	D₄	1	2	yes	—
87	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#336	—	2	4	no	—
90	D₄⋊C₈	—	2	32	no	—
91	C₂⁵	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
101	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
106	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
107	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
108	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
109	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	#127	—	2	16	no	—
119	#127	—	2	8	no	—
120	#127	—	2	4	no	—
121	#127	M₁₆	1	8	yes	complemented
122	C₄×D₄	—	2	16	no	—
123	C₄×D₄	—	2	8	no	—
124	C₄×D₄	—	2	8	no	—
125	C₄×D₄	—	4	16	no	—
126	C₄×D₄	—	4	16	no	—
127	C₄×D₄	—	4	8	no	—
128	C₄×D₄	—	4	4	no	—
129	C₄×D₄	—	4	4	no	—
130	C₄×D₄	—	4	8	no	—
131	C₄×D₄	—	4	8	no	—
132	C₄×D₄	—	4	8	no	—
133	C₄×D₄	—	4	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	D₈	1	8	yes	—
156	C₂×C₄²	SD₁₆	1	8	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
173	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
174	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
175	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
177	C₄×C₈	—	2	4	no	—
178	C₄×C₈	—	4	8	no	—
179	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
180	C₂⁴	—	2	8	no	—
181	C₂⁴	—	2	4	no	—
182	C₂⁴	—	4	4	no	—
183	C₂⁴	—	4	8	no	—
184	C₂⁴	—	4	4	no	—
185	C₂⁴	—	4	8	no	—
186	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×D₄	—	2	8	no	—
188	C₂×D₄	—	2	16	no	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	8	no	—
192	C₂×D₄	—	2	16	no	—
193	C₂×D₄	—	4	32	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂×D₄	—	4	64	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	8	no	—
199	C₂×D₄	—	4	8	no	—
200	C₂×D₄	—	4	8	no	—
201	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
218	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
219	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
221	C₂²×C₄	#102	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	#102	1	8	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	M₁₆	—	8	8	no	—
240	C₂×C₈	—	2	8	no	—
241	C₂×C₈	—	4	8	no	—
242	C₂×C₈	—	4	4	no	—
243	C₂×C₈	—	4	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	4	2	no	—
259	C₄²	—	4	2	no	—
260	C₄²	—	4	2	no	—
261	C₄²	#102	1	8	yes	—
262	C₄²	#102	1	8	yes	—
263	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
264	C₄²	#121	1	4	yes	—
265	C₄²	#124	1	2	yes	—
266	C₄²	#127	1	2	yes	—
267	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
268	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
269	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
270	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
271	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
272	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	2	1	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	8	no	—
278	C₂³	—	4	32	no	—
279	C₂³	—	4	16	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	4	8	no	—
282	C₂³	—	4	8	no	—
283	C₂³	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	8	16	no	—
285	C₂³	—	8	8	no	—
286	C₂³	—	8	8	no	—
287	C₂³	#390	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂×#102	1	4	yes	—
289	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
290	D₄	—	2	16	no	—
291	D₄	—	4	32	no	—
292	D₄	—	4	16	no	—
293	D₄	—	4	8	no	—
294	D₄	—	4	32	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	16	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	8	8	no	—
312	C₂×C₄	—	8	8	no	—
313	C₂×C₄	—	8	4	no	—
314	C₂×C₄	—	8	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	16	no	—
316	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#407	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	#486	1	8	yes	—
327	C₂×C₄	#492	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
337	C₈	—	4	8	no	—
338	C₈	—	8	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	4	16	no	—
344	C₂²	—	4	8	no	—
345	C₂²	—	8	32	no	—
346	C₂²	—	8	8	no	—
347	C₂²	—	8	4	no	—
348	C₂²	—	8	4	no	—
349	C₂²	#1957	1	4	yes	—
350	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#2879	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂²×#102	1	2	yes	—
354	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	2	4	no	—
357	C₄	—	2	4	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	8	4	no	—
362	C₄	#1486	1	8	yes	complemented
363	C₄	#1957	1	4	yes	—
364	C₄	D₄×M₁₆	1	4	yes	—
365	C₄	C₂×#486	1	2	yes	—
366	C₄	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
367	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
368	C₂	—	2	4	no	—
369	C₂	—	8	8	no	—
370	C₂	C₂×#1486	1	2	yes	—
371	C₂	#17485	1	2	yes	—
372	C₂	#21190	1	1	yes	characteristic
373	C₂	C₂×#1957	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#21209	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#127	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20791	C₂	semidirect
3. C₄×#431	C₂	semidirect
4. C₂×#1486	C₂	semidirect
5. #9644	C₂	semidirect
6. #9638	C₂	semidirect
24. #1842	C₂²	semidirect
25. #1842	C₂²	semidirect
28. #1744	C₂²	semidirect
29. C₄²×C₈	C₂²	semidirect
31. C₂×D₄⋊C₈	C₂²	semidirect
62. #431	D₄	semidirect
121. #127	M₁₆	semidirect
179. C₄×C₈	C₂×D₄	semidirect
362. C₄	#1486	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#127	2
#20791	2
C₄×#431	2
C₂×#1486	2
#9644	2
#9638	2