Subgroups — #204120

Order 512.

1524 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 416 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20791	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄²×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1489	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#9646	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#9638	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9637	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#532	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#423	—	2	2	no	—
11	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
13	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄×#124	C₄	1	2	yes	—
19	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×#121	—	2	2	no	—
21	C₄×#121	—	2	2	no	—
22	#2297	C₄	1	2	yes	—
23	#2293	—	2	2	no	—
24	#2285	C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₄²×D₄	—	2	2	no	—
26	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1842	—	2	2	no	—
28	#1842	C₂²	1	2	yes	—
29	#1842	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×#97	—	2	2	no	—
31	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
33	#1489	—	2	16	no	—
34	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
35	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
36	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
39	#532	—	2	4	no	—
40	#532	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×#121	—	2	2	no	—
45	C₄×#41	—	2	8	no	—
46	C₄×#41	—	2	8	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#117	—	2	2	no	—
57	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#423	—	2	8	no	—
65	#423	—	4	8	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
70	C₄×M₁₆	—	2	16	no	—
71	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
72	C₄×M₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
73	C₂×#97	—	2	4	no	—
74	C₂×#97	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
77	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#390	—	2	2	no	—
80	#390	—	2	2	no	—
81	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#389	—	2	2	no	—
84	#389	—	2	2	no	—
85	#388	—	2	4	no	—
86	#388	—	2	4	no	—
87	#386	—	2	4	no	—
88	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#380	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
94	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
95	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
98	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₄³	D₄	1	2	yes	—
101	C₄³	D₄	1	2	yes	—
102	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	Q₈⋊C₈	—	2	16	no	—
105	D₄⋊C₈	—	2	16	no	—
106	C₂×#41	—	2	4	no	—
107	C₂×#41	—	2	4	no	—
108	C₂×#41	—	2	8	no	—
109	C₂×#41	—	4	4	no	—
110	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
129	C₄⋊Q₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
130	#127	—	2	2	no	—
131	#127	M₁₆	1	4	yes	complemented
132	#124	—	2	4	no	—
133	#124	—	2	4	no	—
134	#121	—	2	16	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₄×D₄	—	2	16	no	—
139	C₄×D₄	—	2	8	no	—
140	C₄×D₄	—	2	4	no	—
141	C₄×D₄	—	2	4	no	—
142	C₄×D₄	—	4	8	no	—
143	C₄×D₄	—	4	4	no	—
144	C₄×D₄	—	4	4	no	—
145	C₄×D₄	—	4	8	no	—
146	C₄×D₄	—	4	4	no	—
147	C₄×D₄	—	4	4	no	—
148	#117	—	2	8	no	—
149	#117	—	4	8	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
195	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
196	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
197	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
198	#97	—	2	16	no	—
199	#97	—	2	8	no	—
200	C₄×C₈	—	2	16	no	—
201	C₄×C₈	—	2	4	no	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
203	#95	—	2	4	no	—
204	#95	—	2	4	no	—
205	#95	—	2	4	no	—
206	C₂⁴	—	2	2	no	—
207	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	#41	—	4	16	no	—
209	#41	—	4	16	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
213	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
214	C₂×D₄	—	2	8	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	M₁₆	—	2	32	no	—
263	M₁₆	—	8	8	no	—
264	C₂×C₈	—	2	16	no	—
265	C₂×C₈	—	2	8	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₂×C₈	—	4	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₄²	—	2	1	no	—
282	C₄²	—	2	1	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	—	2	4	no	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	2	4	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₄²	—	4	2	no	—
295	C₄²	—	4	2	no	—
296	C₄²	—	4	4	no	—
297	C₄²	—	4	4	no	—
298	C₄²	#104	1	8	yes	—
299	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
300	C₄²	#121	1	4	yes	—
301	C₄²	#124	1	2	yes	—
302	C₄²	#127	1	2	yes	—
303	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
304	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
305	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
306	C₄²	#137	1	4	yes	—
307	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
308	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
309	C₂³	—	2	1	no	—
310	C₂³	—	2	1	no	—
311	C₂³	—	2	2	no	—
312	C₂³	—	2	2	no	—
313	C₂³	—	2	4	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	—	4	4	no	—
317	C₂³	—	4	2	no	—
318	C₂³	#390	1	2	yes	—
319	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	2	8	no	—
321	Q₈	—	4	4	no	—
322	D₄	—	2	8	no	—
323	D₄	—	4	16	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	D₄	—	4	16	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	8	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	16	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	8	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	—	8	8	no	—
357	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#407	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
375	C₈	—	2	16	no	—
376	C₈	—	8	4	no	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	2	2	no	—
380	C₂²	—	4	2	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	—	4	8	no	—
383	C₂²	—	4	4	no	—
384	C₂²	—	8	4	no	—
385	C₂²	—	8	2	no	—
386	C₂²	—	8	2	no	—
387	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#2879	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
391	C₂²	C₂²×#104	1	2	yes	—
392	C₄	—	2	4	no	—
393	C₄	—	2	4	no	—
394	C₄	—	2	2	no	—
395	C₄	—	2	2	no	—
396	C₄	—	2	2	no	—
397	C₄	—	4	2	no	—
398	C₄	—	4	4	no	—
399	C₄	—	8	2	no	—
400	C₄	—	8	2	no	—
401	C₄	#1489	1	8	yes	complemented
402	C₄	#1962	1	4	yes	—
403	C₄	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
404	C₄	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
405	C₄	#3141	1	2	yes	—
406	C₄	#3151	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#3152	1	1	yes	characteristic
408	C₂	—	4	2	no	—
409	C₂	—	8	4	no	—
410	C₂	C₂×#1489	1	2	yes	—
411	C₂	#17504	1	2	yes	—
412	C₂	#21190	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#21200	1	1	yes	characteristic
414	C₂	C₂×#1962	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20791	C₂	semidirect
3. C₄²×M₁₆	C₂	semidirect
4. C₂×#1489	C₂	semidirect
5. #9646	C₂	semidirect
6. #9638	C₂	semidirect
7. #9637	C₂	semidirect
72. C₄×M₁₆	D₄	semidirect
129. C₄⋊Q₈	M₁₆	semidirect
131. #127	M₁₆	semidirect
401. C₄	#1489	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#532	2
#20791	2
C₄²×M₁₆	2
C₂×#1489	2
#9646	2
#9638	2
#9637	2