Subgroups — #204122

Order 512.

1422 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 323 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄²×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1491	C₂	1	4	yes	maximal
5	#9647	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#9637	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
13	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
14	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
15	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
16	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#391	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×#389	—	2	2	no	—
20	C₂×#384	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
22	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1842	C₂²	1	2	yes	—
24	#1831	C₂²	1	2	yes	—
25	#1797	—	2	2	no	—
26	#1767	—	2	2	no	—
27	C₄×#97	—	2	2	no	—
28	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	#1491	—	2	16	no	—
31	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	16	yes	—
32	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
41	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
42	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#432	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
58	C₄×M₁₆	—	2	16	no	—
59	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
60	C₄×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
61	C₂×#97	—	2	4	no	—
62	C₂×#97	—	2	2	no	—
63	C₂×#97	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
66	#391	—	2	4	no	—
67	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#389	—	2	4	no	—
70	#389	—	2	4	no	—
71	#389	—	2	4	no	—
72	#389	—	2	4	no	—
73	#384	—	2	2	no	—
74	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×#95	—	2	4	no	—
81	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₄³	D₄	1	2	yes	—
84	C₄³	D₄	1	2	yes	—
85	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#336	—	2	4	no	—
88	Q₈⋊C₈	—	2	32	no	—
89	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
90	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
92	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
93	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
106	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
108	C₄⋊Q₈	M₁₆	1	8	yes	complemented
109	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
110	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
111	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
112	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
113	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
114	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
133	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
156	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
157	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
158	#97	—	2	16	no	—
159	#97	—	2	8	no	—
160	#97	—	4	4	no	—
161	C₄×C₈	—	2	16	no	—
162	C₄×C₈	—	2	4	no	—
163	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
164	#95	—	2	8	no	—
165	#95	—	2	8	no	—
166	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
171	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
172	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
173	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
174	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
191	C₂²×C₄	#104	1	8	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	M₁₆	—	2	32	no	—
207	C₂×C₈	—	2	16	no	—
208	C₂×C₈	—	2	8	no	—
209	C₂×C₈	—	4	4	no	—
210	C₂×C₈	—	4	8	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
214	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
215	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
217	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
219	C₄²	—	2	2	no	—
220	C₄²	—	2	2	no	—
221	C₄²	—	2	2	no	—
222	C₄²	—	2	4	no	—
223	C₄²	—	2	4	no	—
224	C₄²	—	2	4	no	—
225	C₄²	—	2	4	no	—
226	C₄²	—	2	4	no	—
227	C₄²	—	2	4	no	—
228	C₄²	—	2	4	no	—
229	C₄²	—	2	4	no	—
230	C₄²	—	4	2	no	—
231	C₄²	—	4	4	no	—
232	C₄²	—	4	4	no	—
233	C₄²	—	4	8	no	—
234	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
235	C₄²	#121	1	4	yes	—
236	C₄²	#124	1	2	yes	—
237	C₄²	#127	1	2	yes	—
238	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
239	C₄²	#137	1	8	yes	—
240	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
242	C₂³	—	2	1	no	—
243	C₂³	—	2	1	no	—
244	C₂³	—	2	2	no	—
245	C₂³	#390	1	2	yes	—
246	C₂³	C₂×#104	1	4	yes	—
247	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	Q₈	—	2	16	no	—
249	Q₈	—	4	16	no	—
250	Q₈	—	4	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂×C₄	—	2	16	no	—
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	4	8	no	—
270	C₂×C₄	—	4	16	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	8	8	no	—
276	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	#407	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	#419	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	#419	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
291	C₈	—	2	16	no	—
292	C₈	—	8	4	no	—
293	C₂²	—	2	4	no	—
294	C₂²	—	2	4	no	—
295	C₂²	—	2	2	no	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	#1962	1	4	yes	—
298	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	#2879	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂×#419	1	2	yes	—
302	C₂²	C₂²×#104	1	2	yes	—
303	C₄	—	2	4	no	—
304	C₄	—	2	4	no	—
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	2	2	no	—
307	C₄	—	2	2	no	—
308	C₄	—	2	2	no	—
309	C₄	—	4	2	no	—
310	C₄	—	4	8	no	—
311	C₄	—	8	4	no	—
312	C₄	#1491	1	8	yes	complemented
313	C₄	D₄×M₁₆	1	4	yes	—
314	C₄	#3139	1	2	yes	—
315	C₄	#3152	1	2	yes	—
316	C₂	—	2	4	no	—
317	C₂	C₂×#1491	1	2	yes	—
318	C₂	#17501	1	2	yes	—
319	C₂	#21190	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#21202	1	1	yes	characteristic
321	C₂	C₂×#1962	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #9647	C₂	semidirect
6. #9637	C₂	semidirect
108. C₄⋊Q₈	M₁₆	semidirect
312. C₄	#1491	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×C₄⋊Q₈	2
#20810	2
C₄²×M₁₆	2
C₂×#1491	2
#9647	2
#9637	2