Subgroups — #204126

Order 512.

1364 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1489	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#9645	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#9642	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9641	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#532	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₄×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×#124	C₄	1	2	yes	—
17	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄×#121	—	2	2	no	—
19	C₄×#121	—	2	2	no	—
20	#2297	C₄	1	2	yes	—
21	#2293	—	2	2	no	—
22	#2285	C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₄²×D₄	—	2	2	no	—
24	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1831	—	2	2	no	—
26	#1831	C₂²	1	2	yes	—
27	#1831	C₂²	1	2	yes	—
28	#1745	—	2	2	no	—
29	#1744	C₂²	1	2	yes	—
30	#1744	C₂²	1	2	yes	—
31	#1728	—	2	2	no	—
32	#1728	—	2	2	no	—
33	#1489	—	2	16	no	—
34	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
35	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
36	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
39	#532	—	2	4	no	—
40	#532	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×#121	—	2	2	no	—
45	C₄×#41	—	2	8	no	—
46	C₄×#41	—	2	8	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#117	—	2	2	no	—
57	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#423	—	2	8	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
67	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
68	C₄×M₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
69	C₂×#97	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
71	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#390	—	2	2	no	—
74	#390	—	2	2	no	—
75	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#389	—	2	2	no	—
78	#389	—	2	2	no	—
79	#388	—	2	4	no	—
80	#388	—	2	4	no	—
81	#386	—	2	4	no	—
82	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#380	—	2	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₄³	D₄	1	2	yes	—
95	C₄³	D₄	1	2	yes	—
96	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#336	—	2	4	no	—
99	#336	—	2	4	no	—
100	#336	—	2	4	no	—
101	#336	—	2	4	no	—
102	Q₈⋊C₈	—	2	16	no	—
103	D₄⋊C₈	—	2	16	no	—
104	C₂×#41	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	—	2	4	no	—
106	C₂×#41	—	2	8	no	—
107	C₂×#41	—	4	4	no	—
108	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
121	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
122	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
127	C₄⋊Q₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
128	#127	—	2	2	no	—
129	#127	M₁₆	1	4	yes	complemented
130	#124	—	2	4	no	—
131	#124	—	2	4	no	—
132	#121	—	2	16	no	—
133	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
134	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₄×D₄	—	2	16	no	—
137	C₄×D₄	—	2	8	no	—
138	C₄×D₄	—	2	4	no	—
139	C₄×D₄	—	2	4	no	—
140	C₄×D₄	—	4	8	no	—
141	C₄×D₄	—	4	8	no	—
142	C₄×D₄	—	4	8	no	—
143	C₄×D₄	—	4	4	no	—
144	C₄×D₄	—	4	4	no	—
145	#117	—	2	8	no	—
146	#117	—	4	8	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
170	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
191	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
192	#97	—	2	8	no	—
193	C₄×C₈	—	2	4	no	—
194	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
195	#95	—	2	4	no	—
196	#95	—	2	4	no	—
197	#95	—	2	4	no	—
198	C₂⁴	—	2	2	no	—
199	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
200	#41	—	4	16	no	—
201	#41	—	4	16	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
205	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
206	C₂×D₄	—	2	8	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	8	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	M₁₆	—	4	16	no	—
253	M₁₆	—	8	8	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	4	8	no	—
256	C₂×C₈	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	—	4	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₄²	—	2	1	no	—
272	C₄²	—	2	1	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	4	2	no	—
281	C₄²	—	4	2	no	—
282	C₄²	—	4	2	no	—
283	C₄²	—	4	2	no	—
284	C₄²	—	4	2	no	—
285	C₄²	—	4	2	no	—
286	C₄²	—	4	2	no	—
287	C₄²	—	4	4	no	—
288	C₄²	—	4	4	no	—
289	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
290	C₄²	#121	1	4	yes	—
291	C₄²	#124	1	2	yes	—
292	C₄²	#127	1	2	yes	—
293	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
294	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
295	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
297	C₂³	—	2	1	no	—
298	C₂³	—	2	1	no	—
299	C₂³	—	2	2	no	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	2	4	no	—
302	C₂³	—	4	2	no	—
303	C₂³	—	4	4	no	—
304	C₂³	—	4	4	no	—
305	C₂³	—	4	2	no	—
306	C₂³	#390	1	2	yes	—
307	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	2	8	no	—
309	Q₈	—	4	4	no	—
310	D₄	—	2	8	no	—
311	D₄	—	4	16	no	—
312	D₄	—	4	16	no	—
313	D₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	16	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	8	4	no	—
345	C₂×C₄	—	8	4	no	—
346	C₂×C₄	—	8	8	no	—
347	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#407	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
360	C₈	—	4	8	no	—
361	C₈	—	8	4	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	4	8	no	—
368	C₂²	—	4	4	no	—
369	C₂²	—	8	4	no	—
370	C₂²	—	8	2	no	—
371	C₂²	—	8	2	no	—
372	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#2879	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#2896	1	2	yes	—
376	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
377	C₄	—	2	4	no	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	2	2	no	—
380	C₄	—	2	2	no	—
381	C₄	—	4	2	no	—
382	C₄	—	4	2	no	—
383	C₄	—	4	2	no	—
384	C₄	—	4	4	no	—
385	C₄	—	8	2	no	—
386	C₄	—	8	2	no	—
387	C₄	#1963	1	4	yes	—
388	C₄	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
389	C₄	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
390	C₄	#3142	1	2	yes	—
391	C₄	#3153	1	2	yes	—
392	C₂	—	4	2	no	—
393	C₂	—	8	4	no	—
394	C₂	#17450	1	2	yes	—
395	C₂	#17499	1	2	yes	—
396	C₂	#21190	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#21201	1	1	yes	characteristic
398	C₂	C₂×#1963	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20752	C₂	semidirect
3. #20364	C₂	semidirect
4. C₂×#1489	C₂	semidirect
5. #9645	C₂	semidirect
6. #9642	C₂	semidirect
7. #9641	C₂	semidirect
68. C₄×M₁₆	D₄	semidirect
127. C₄⋊Q₈	M₁₆	semidirect
129. #127	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#532	2
#20752	2
#20364	2
C₂×#1489	2
#9645	2
#9642	2
#9641	2