Subgroups — #20416

Order 256.

869 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 236 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1762	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₄×#102	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1735	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#518	—	2	4	no	—
14	#518	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
16	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
22	#418	C₄	1	8	yes	complemented
23	C₂×#102	C₄	1	8	yes	complemented
24	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	—
27	#405	—	2	4	no	—
28	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
31	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
33	#340	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#340	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#340	C₂²	1	4	yes	complemented
36	C₂⁵	—	2	1	no	—
37	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
38	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
39	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
40	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
41	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
46	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
47	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
51	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
54	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₄×D₄	—	2	16	no	—
58	C₄×D₄	—	2	8	no	—
59	C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
60	#117	—	2	2	no	—
61	#117	—	2	2	no	—
62	#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#117	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
65	#117	D₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
69	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
82	#102	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
83	#102	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
84	#102	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
85	#97	—	2	4	no	—
86	C₄×C₈	—	2	4	no	—
87	#95	—	2	4	no	—
88	C₂⁴	—	2	2	no	—
89	C₂⁴	—	2	4	no	—
90	C₂⁴	—	2	4	no	—
91	C₂⁴	—	2	4	no	—
92	C₂⁴	—	8	2	no	—
93	C₂⁴	—	8	2	no	—
94	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂×D₄	—	2	8	no	—
97	C₂×D₄	—	2	8	no	—
98	C₂×D₄	—	2	8	no	—
99	C₂×D₄	—	2	4	no	—
100	C₂×D₄	—	2	4	no	—
101	C₂×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂×D₄	C₄²	1	16	yes	complemented
105	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
113	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
114	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
115	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
116	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
123	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	M₁₆	—	2	8	no	—
126	C₂×C₈	—	2	8	no	—
127	C₂×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
141	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
147	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
148	C₄²	—	2	4	no	—
149	C₄²	—	2	4	no	—
150	C₄²	—	8	4	no	—
151	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂³	—	2	2	no	—
154	C₂³	—	2	2	no	—
155	C₂³	—	2	4	no	—
156	C₂³	—	2	4	no	—
157	C₂³	—	2	4	no	—
158	C₂³	—	2	16	no	—
159	C₂³	—	4	4	no	—
160	C₂³	—	4	4	no	—
161	C₂³	—	8	8	no	—
162	C₂³	—	8	8	no	—
163	C₂³	—	8	4	no	—
164	C₂³	—	8	4	no	—
165	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
167	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
168	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
169	D₄	—	2	4	no	—
170	D₄	—	2	4	no	—
171	D₄	—	2	4	no	—
172	D₄	—	2	16	no	—
173	D₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
174	C₂×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄	—	8	16	no	—
185	C₂×C₄	—	8	4	no	—
186	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
187	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
188	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄	#117	1	4	yes	—
190	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
200	C₈	—	2	2	no	—
201	C₈	—	2	2	no	—
202	C₈	—	2	4	no	—
203	C₂²	—	2	4	no	—
204	C₂²	—	2	4	no	—
205	C₂²	—	2	2	no	—
206	C₂²	—	2	2	no	—
207	C₂²	—	2	8	no	—
208	C₂²	—	4	8	no	—
209	C₂²	—	4	8	no	—
210	C₂²	—	4	4	no	—
211	C₂²	—	4	4	no	—
212	C₂²	—	8	16	no	—
213	C₂²	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
214	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²	#576	1	2	yes	—
218	C₂²	#577	1	2	yes	—
219	C₄	—	2	8	no	—
220	C₄	—	4	4	no	—
221	C₄	—	4	4	no	—
222	C₄	—	4	4	no	—
223	C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
224	C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
225	C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
226	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂	—	2	4	no	—
229	C₂	—	4	8	no	—
230	C₂	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂	#2897	1	2	yes	—
232	C₂	#2946	1	2	yes	—
233	C₂	#2948	1	1	yes	characteristic
234	C₂	#2949	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#405	C₂	semidirect
5. #2274	C₂	semidirect
6. #1762	C₂	semidirect
7. C₄×#102	C₂	semidirect
8. #1736	C₂	semidirect
9. #1735	C₂	semidirect
14. #518	C₄	semidirect
22. #418	C₄	semidirect
23. C₂×#102	C₄	semidirect
28. C₂×#97	C₂²	semidirect
29. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
31. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
33. #340	C₂²	semidirect
34. #340	C₂²	semidirect
35. #340	C₂²	semidirect
50. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
53. C₂²×C₈	C₂×C₄	semidirect
59. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
64. #117	C₂×C₄	semidirect
68. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
82. #102	C₂×C₄	semidirect
83. #102	C₂×C₄	semidirect
84. #102	C₂×C₄	semidirect
104. C₂×D₄	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#518	2
C₂×#418	2
C₂²×#102	2
C₂×#405	2
#2274	2
#1762	2
C₄×#102	2
#1736	2
#1735	2