Subgroups — #20417

Order 256.

761 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 219 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#519	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#419	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#2274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#1763	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₄×#103	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#1735	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#519	—	2	4	no	—
14	#519	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
16	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#117	—	2	2	no	—
18	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#419	C₄	1	8	yes	complemented
23	C₂×#103	C₄	1	8	yes	complemented
24	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#103	C₂²	1	4	yes	—
27	#405	—	2	4	no	—
28	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
31	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
32	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
33	#340	C₂²	1	2	yes	—
34	#340	C₂²	1	2	yes	—
35	#340	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
37	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
38	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
39	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
40	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
45	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
46	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
57	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
58	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
59	#117	—	2	2	no	—
60	#117	—	2	2	no	—
61	#117	—	2	16	no	—
62	#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	#117	D₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
82	#103	C₂×C₄	1	8	yes	—
83	#103	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	#103	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
85	#97	—	2	4	no	—
86	C₄×C₈	—	2	4	no	—
87	#95	—	2	4	no	—
88	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
90	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
91	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
92	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
93	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
94	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
95	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
97	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
98	C₂×Q₈	C₄²	1	16	yes	complemented
99	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
111	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
118	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	M₁₆	—	2	8	no	—
121	C₂×C₈	—	2	8	no	—
122	C₂×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂×C₈	—	2	1	no	—
126	C₂×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
132	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
137	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
143	C₄²	—	2	16	no	—
144	C₄²	—	2	4	no	—
145	C₄²	—	2	4	no	—
146	C₄²	—	8	4	no	—
147	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
148	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂³	—	2	2	no	—
150	C₂³	—	2	2	no	—
151	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
153	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
154	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
155	Q₈	—	2	4	no	—
156	Q₈	—	2	4	no	—
157	Q₈	—	2	4	no	—
158	Q₈	—	2	16	no	—
159	Q₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
160	C₂×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄	—	2	16	no	—
166	C₂×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂×C₄	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₄	—	8	4	no	—
175	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
176	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
177	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄	#117	1	4	yes	—
179	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
189	C₈	—	2	2	no	—
190	C₈	—	2	2	no	—
191	C₈	—	2	4	no	—
192	C₂²	—	2	4	no	—
193	C₂²	—	2	4	no	—
194	C₂²	—	2	2	no	—
195	C₂²	—	2	2	no	—
196	C₂²	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
197	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²	#577	1	2	yes	—
201	C₂²	#578	1	2	yes	—
202	C₄	—	2	8	no	—
203	C₄	—	2	8	no	—
204	C₄	—	4	4	no	—
205	C₄	—	4	4	no	—
206	C₄	—	4	4	no	—
207	C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
208	C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
209	C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
210	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂	—	2	4	no	—
213	C₂	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂	#2898	1	2	yes	—
215	C₂	#2947	1	2	yes	—
216	C₂	#2949	1	1	yes	characteristic
217	C₂	#2950	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #1763	C₂	semidirect
7. C₄×#103	C₂	semidirect
14. #519	C₄	semidirect
22. #419	C₄	semidirect
23. C₂×#103	C₄	semidirect
58. C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
84. #103	C₂×C₄	semidirect
98. C₂×Q₈	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#519	2
C₂×#419	2
C₂²×#103	2
C₂×#405	2
#2274	2
#1763	2
C₄×#103	2
#1736	2
#1735	2