Subgroups — #20421

Order 256.

745 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 258 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2896	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#2873	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1765	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1764	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#568	—	2	4	no	—
12	#568	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×#131	—	2	2	no	—
14	C₂×#131	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
16	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#104	C₄	1	8	yes	complemented
23	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
25	#419	C₄	1	2	yes	complemented
26	#418	C₄	1	2	yes	complemented
27	#417	C₄	1	4	yes	complemented
28	#416	C₂²	1	4	yes	—
29	#405	—	2	2	no	—
30	#405	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
32	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
33	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#341	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#339	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#339	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂×#41	—	2	1	no	—
39	C₂×#41	—	2	2	no	—
40	C₂×#41	—	2	1	no	—
41	C₂×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
48	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
50	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
51	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#131	—	2	16	no	—
53	#131	—	2	8	no	—
54	#131	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
55	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
59	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
60	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
61	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
62	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
63	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
71	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
74	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
75	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	#117	—	2	1	no	—
79	#117	—	2	1	no	—
80	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#117	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#104	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
91	#104	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
92	#103	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
93	#102	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
94	#97	—	2	4	no	—
95	#97	—	2	4	no	—
96	C₄×C₈	—	2	4	no	—
97	C₄×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂⁴	—	2	1	no	—
99	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
100	#41	—	2	4	no	—
101	#41	—	2	4	no	—
102	#41	—	2	4	no	—
103	#41	—	2	4	no	—
104	#41	—	2	4	no	—
105	#41	—	2	2	no	—
106	#41	—	2	2	no	—
107	#41	C₄²	1	8	yes	—
108	#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
111	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
113	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂×D₄	—	2	1	no	—
120	C₂×D₄	C₄²	1	4	yes	—
121	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
132	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	M₁₆	—	2	4	no	—
143	M₁₆	—	2	4	no	—
144	M₁₆	—	2	4	no	—
145	M₁₆	—	2	4	no	—
146	M₁₆	—	2	2	no	—
147	M₁₆	—	2	2	no	—
148	M₁₆	—	2	16	no	—
149	M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
150	M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
151	M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂×C₈	—	2	4	no	—
155	C₂×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂×C₈	—	2	16	no	—
160	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
166	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₄²	—	2	4	no	—
169	C₄²	—	2	2	no	—
170	C₄²	—	2	1	no	—
171	C₄²	—	2	1	no	—
172	C₄²	—	2	2	no	—
173	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂³	—	2	2	no	—
176	C₂³	—	2	4	no	—
177	C₂³	—	4	2	no	—
178	C₂³	—	8	2	no	—
179	C₂³	#117	1	2	yes	—
180	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
183	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
184	Q₈	—	2	2	no	—
185	Q₈	—	2	4	no	—
186	Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
187	D₄	—	2	4	no	—
188	D₄	—	2	4	no	—
189	D₄	—	2	8	no	—
190	D₄	—	2	2	no	—
191	D₄	—	2	4	no	—
192	D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
193	C₂×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄	—	4	8	no	—
203	C₂×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂×C₄	—	8	2	no	—
205	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
206	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
210	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	C₈	—	2	4	no	—
224	C₈	—	2	4	no	—
225	C₈	—	2	4	no	—
226	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
227	C₂²	—	2	2	no	—
228	C₂²	—	2	2	no	—
229	C₂²	—	2	2	no	—
230	C₂²	—	2	4	no	—
231	C₂²	—	4	2	no	—
232	C₂²	—	4	2	no	—
233	C₂²	—	4	4	no	—
234	C₂²	—	8	4	no	—
235	C₂²	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂²	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
238	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₄	—	2	4	no	—
241	C₄	—	2	4	no	—
242	C₄	—	4	2	no	—
243	C₄	—	4	4	no	—
244	C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
247	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂	—	2	1	no	—
251	C₂	—	2	2	no	—
252	C₂	—	2	1	no	—
253	C₂	—	2	2	no	—
254	C₂	—	4	4	no	—
255	C₂	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂	#2956	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #2873	C₂	semidirect
5. C₂×C₄×M₁₆	C₂	semidirect
6. #1765	C₂	semidirect
7. #1764	C₂	semidirect
8. #1738	C₂	semidirect
9. C₂×#339	C₂	semidirect
12. #568	C₄	semidirect
22. C₂×#104	C₄	semidirect
25. #419	C₄	semidirect
26. #418	C₄	semidirect
27. #417	C₄	semidirect
30. #405	C₂²	semidirect
33. C₂×#97	C₂²	semidirect
34. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
35. #341	C₂²	semidirect
36. #339	C₂²	semidirect
37. #339	C₂²	semidirect
54. #131	C₂×C₄	semidirect
90. #104	C₂×C₄	semidirect
91. #104	C₂×C₄	semidirect
92. #103	C₂×C₄	semidirect
93. #102	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#568	2
C₂²×#104	2
#2896	2
#2873	2
C₂×C₄×M₁₆	2
#1765	2
#1764	2
#1738	2
C₂×#339	2