Subgroups — #204274

Order 512.

1290 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 397 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21373	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1564	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1476	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9663	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9662	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9661	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#135	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
11	C₄×#135	—	2	4	no	—
12	C₄×#135	—	2	4	no	—
13	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×SD₁₆	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#427	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#416	C₄	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1984	C₂²	1	4	yes	—
26	#1954	C₂²	1	4	yes	—
27	#1869	—	2	4	no	—
28	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
29	#1564	—	2	4	no	—
30	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
32	#1476	—	2	8	no	—
33	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#322	—	2	4	no	—
36	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×#135	—	2	8	no	—
40	C₂×#135	—	2	4	no	—
41	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
45	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
48	C₄×#41	—	2	4	no	—
49	C₄×#41	—	2	4	no	—
50	C₄×#41	—	2	4	no	—
51	C₄×#41	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#117	—	2	2	no	—
59	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
63	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
64	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
65	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
66	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
67	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
68	C₄×D₈	—	2	4	no	—
69	C₄×D₈	—	2	2	no	—
70	C₄×D₈	—	2	2	no	—
71	#431	—	2	4	no	—
72	#431	—	2	4	no	—
73	#427	—	2	4	no	—
74	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
78	#416	—	2	8	no	—
79	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#336	—	2	8	no	—
101	#335	—	2	4	no	—
102	#334	—	2	4	no	—
103	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
104	D₄⋊C₈	—	2	8	no	—
105	#322	—	2	4	no	—
106	#322	—	2	4	no	—
107	C₂×#41	—	2	4	no	—
108	C₂×#41	—	2	4	no	—
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	M₁₆	1	8	yes	—
113	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
122	#135	—	2	32	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×D₈	—	2	4	no	—
129	C₂×D₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
138	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄×D₄	—	2	4	no	—
152	C₄×D₄	—	2	4	no	—
153	C₄×D₄	—	2	2	no	—
154	C₄×D₄	—	2	2	no	—
155	C₄×D₄	—	2	2	no	—
156	C₄×D₄	—	2	2	no	—
157	C₄×D₄	—	4	4	no	—
158	C₄×D₄	—	4	4	no	—
159	C₄×D₄	—	4	4	no	—
160	C₄×D₄	—	4	4	no	—
161	#117	—	2	4	no	—
162	#117	—	2	4	no	—
163	#117	—	4	4	no	—
164	#117	—	4	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	#107	—	2	2	no	—
186	#107	—	2	2	no	—
187	#106	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
190	#103	—	2	4	no	—
191	#103	—	2	4	no	—
192	#102	—	2	4	no	—
193	#102	—	2	4	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
196	C₄×C₈	—	2	4	no	—
197	C₄×C₈	—	2	4	no	—
198	C₄×C₈	—	2	2	no	—
199	C₄×C₈	—	2	2	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	C₄×C₈	—	4	4	no	—
202	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
203	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
204	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂⁴	—	2	2	no	—
210	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
211	#41	—	2	16	no	—
212	#41	—	2	16	no	—
213	#41	—	4	8	no	—
214	#41	—	4	8	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
220	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
221	C₂×D₄	—	2	8	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	Q₁₆	—	2	8	no	—
258	SD₁₆	—	2	16	no	—
259	D₈	—	2	8	no	—
260	C₂×C₈	—	2	16	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	8	no	—
268	C₂×C₈	—	2	8	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	4	4	no	—
271	C₂×C₈	—	4	8	no	—
272	C₂×C₈	—	4	4	no	—
273	C₂×C₈	—	4	8	no	—
274	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
277	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
278	C₂×C₈	#135	1	8	yes	complemented
279	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₄²	—	4	2	no	—
291	C₄²	—	4	2	no	—
292	C₄²	—	4	4	no	—
293	C₄²	—	4	4	no	—
294	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
295	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
296	C₄²	#121	1	2	yes	—
297	C₄²	#121	1	2	yes	—
298	C₄²	#124	1	2	yes	—
299	C₄²	#127	1	2	yes	—
300	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	2	4	no	—
307	C₂³	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	4	4	no	—
309	C₂³	—	4	4	no	—
310	C₂³	—	4	2	no	—
311	C₂³	#390	1	2	yes	—
312	C₂³	#435	1	4	yes	—
313	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
314	Q₈	—	2	4	no	—
315	Q₈	—	2	4	no	—
316	Q₈	—	4	2	no	—
317	Q₈	—	4	2	no	—
318	D₄	—	2	4	no	—
319	D₄	—	2	4	no	—
320	D₄	—	4	16	no	—
321	D₄	—	4	2	no	—
322	D₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	16	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	4	no	—
338	C₂×C₄	—	8	8	no	—
339	C₂×C₄	—	8	4	no	—
340	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#407	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#408	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	#435	1	8	yes	—
346	C₂×C₄	#435	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
357	C₈	—	2	2	no	—
358	C₈	—	2	2	no	—
359	C₈	—	2	2	no	—
360	C₈	—	2	2	no	—
361	C₈	—	2	8	no	—
362	C₈	—	4	4	no	—
363	C₈	—	8	4	no	—
364	C₂²	—	2	8	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	4	4	no	—
368	C₂²	—	4	8	no	—
369	C₂²	—	8	4	no	—
370	C₂²	—	8	2	no	—
371	C₂²	—	8	2	no	—
372	C₂²	#1955	1	4	yes	—
373	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂×#435	1	2	yes	—
375	C₂²	C₄×#135	1	2	yes	—
376	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	2	1	no	—
379	C₄	—	2	1	no	—
380	C₄	—	4	4	no	—
381	C₄	—	8	2	no	—
382	C₄	—	8	2	no	—
383	C₄	#1955	1	4	yes	—
384	C₄	#1975	1	4	yes	—
385	C₄	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
386	C₄	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
387	C₄	C₂×#435	1	2	yes	—
388	C₄	#3050	1	2	yes	—
389	C₄	#3147	1	2	yes	—
390	C₂	—	2	4	no	—
391	C₂	—	8	4	no	—
392	C₂	#17863	1	4	yes	—
393	C₂	C₂×#1955	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#21224	1	1	yes	characteristic
395	C₂	C₂×#1975	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄²	C₂×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×#135	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21373	C₂	semidirect
3. C₂×#1564	C₂	semidirect
4. C₂×#1476	C₂	semidirect
5. C₂²×#322	C₂	semidirect
6. #9663	C₂	semidirect
7. #9662	C₂	semidirect
8. #9661	C₂	semidirect
278. C₂×C₈	#135	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#135	2
#21373	2
C₂×#1564	2
C₂×#1476	2
C₂²×#322	2
#9663	2
#9662	2
#9661	2