Subgroups — #20430

Order 256.

569 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 159 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#424	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#405	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1768	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1767	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#424	C₄	1	16	yes	complemented
15	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
17	#405	—	2	8	no	—
18	C₂×#97	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	—
20	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
21	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
22	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
23	#376	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
25	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#336	C₂²	1	2	yes	—
28	#336	C₂²	1	2	yes	—
29	#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
33	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
36	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
37	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
41	#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	#117	D₄	1	4	yes	—
43	#117	Q₈	1	4	yes	—
44	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
57	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
58	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
59	#97	—	2	8	no	—
60	C₄×C₈	—	2	8	no	—
61	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
67	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	M₁₆	—	2	16	no	—
79	C₂×C₈	—	2	16	no	—
80	C₂×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₈	—	2	4	no	—
86	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
87	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
89	C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
90	C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
91	C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
92	C₂²⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
93	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
94	C₄²	—	2	4	no	—
95	C₄²	—	2	8	no	—
96	C₄²	—	2	2	no	—
97	C₄²	—	2	2	no	—
98	C₄²	—	4	4	no	—
99	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
100	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
102	C₂³	—	2	2	no	—
103	C₂³	—	2	2	no	—
104	C₂³	C₂×C₄²	1	2	yes	—
105	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
106	C₂³	#117	1	2	yes	—
107	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄	—	4	8	no	—
118	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
119	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
120	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
121	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
122	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
124	C₂×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
125	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
126	C₂×C₄	#131	1	4	yes	—
127	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
131	C₈	—	2	4	no	—
132	C₈	—	2	4	no	—
133	C₈	—	2	8	no	—
134	C₂²	—	2	2	no	—
135	C₂²	—	2	2	no	—
136	C₂²	—	2	4	no	—
137	C₂²	—	2	4	no	—
138	C₂²	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
139	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
140	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
142	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
143	C₂²	#568	1	2	yes	—
144	C₄	—	2	4	no	—
145	C₄	—	2	4	no	—
146	C₄	—	2	8	no	—
147	C₄	—	2	4	no	—
148	C₄	—	4	2	no	—
149	C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
150	C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
151	C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
152	C₂	—	2	4	no	—
153	C₂	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂	C₄×#131	1	1	yes	characteristic
155	C₂	#2875	1	1	yes	characteristic
156	C₂	#2906	1	2	yes	—
157	C₂	#2924	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #1768	C₂	semidirect
5. #1767	C₂	semidirect
6. C₄×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
14. #424	C₄	semidirect
57. C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
58. C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#424	2
C₂×#405	2
C₄×#117	2
#1768	2
#1767	2
C₄×C₄⋊C₈	2
#1728	2
C₂×#336	2