Subgroups — #204315

Order 512.

1016 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 417 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3167	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21821	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21789	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1497	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1496	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#1452	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9666	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#9661	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3167	—	2	4	no	—
13	#3167	—	2	4	no	—
14	C₂×#498	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#492	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#487	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#486	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#465	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×#465	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1985	—	2	2	no	—
28	#1984	C₂²	1	4	yes	—
29	#1955	—	2	2	no	—
30	#1954	C₂²	1	4	yes	—
31	#1818	—	2	2	no	—
32	#1780	—	2	2	no	—
33	#1568	—	2	4	no	—
34	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
36	#1497	—	2	4	no	—
37	#1496	—	2	4	no	—
38	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
40	#1452	—	2	4	no	—
41	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×#41	—	2	1	no	—
44	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	#533	—	2	2	no	—
49	#533	—	2	2	no	—
50	#533	—	2	2	no	—
51	#533	—	2	2	no	—
52	#532	—	2	2	no	—
53	#532	—	2	2	no	—
54	#532	—	2	2	no	—
55	#532	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#125	—	2	1	no	—
61	C₂×#124	—	2	1	no	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×#121	—	2	1	no	—
65	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
69	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#117	—	2	1	no	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#498	—	2	4	no	—
73	#492	—	2	4	no	—
74	#487	—	2	4	no	—
75	#486	—	2	4	no	—
76	#465	—	2	8	no	—
77	#465	—	2	8	no	—
78	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
79	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
80	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
81	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
82	#432	—	2	2	no	—
83	#432	—	2	2	no	—
84	#432	—	2	2	no	—
85	#432	—	2	2	no	—
86	#431	—	2	2	no	—
87	#431	—	2	2	no	—
88	#431	—	2	2	no	—
89	#431	D₄	1	4	yes	—
90	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
102	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
103	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
104	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
105	C₂×#97	—	2	1	no	—
106	C₂×#97	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
110	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	#336	—	2	8	no	—
116	#335	—	2	4	no	—
117	#334	—	2	4	no	—
118	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
119	D₄⋊C₈	—	2	8	no	—
120	#322	—	2	4	no	—
121	#322	—	2	4	no	—
122	C₂×#41	—	4	2	no	—
123	C₂×#41	—	4	2	no	—
124	C₂×#41	—	8	4	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
127	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
131	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
136	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
145	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
158	#127	—	2	2	no	—
159	#127	—	2	2	no	—
160	#125	—	4	2	no	—
161	#125	—	4	2	no	—
162	#124	—	4	2	no	—
163	#124	—	4	2	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
167	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
168	#121	—	2	4	no	—
169	#121	—	2	4	no	—
170	#121	—	4	2	no	—
171	#121	—	4	2	no	—
172	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
173	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
175	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
176	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
177	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
178	C₄×D₄	—	2	2	no	—
179	C₄×D₄	—	2	2	no	—
180	C₄×D₄	—	2	2	no	—
181	C₄×D₄	—	2	2	no	—
182	C₄×D₄	—	4	2	no	—
183	C₄×D₄	—	4	2	no	—
184	#117	—	4	2	no	—
185	#117	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	#106	—	2	4	no	—
207	#106	—	2	4	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
209	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
210	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
214	#103	—	2	4	no	—
215	#103	—	2	4	no	—
216	#102	—	2	4	no	—
217	#102	—	2	4	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
220	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
222	C₂²⋊C₈	—	8	8	no	—
223	#97	—	4	2	no	—
224	#97	—	4	2	no	—
225	C₄×C₈	—	2	2	no	—
226	C₄×C₈	—	2	2	no	—
227	C₄×C₈	—	2	2	no	—
228	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
229	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
230	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
231	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
232	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
233	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
235	C₂⁴	—	2	2	no	—
236	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
237	#41	—	8	8	no	—
238	#41	—	8	8	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
247	C₂×D₄	—	2	2	no	—
248	C₂×D₄	—	2	2	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	4	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	8	2	no	—
255	C₂×D₄	—	8	2	no	—
256	C₂×D₄	—	8	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
279	SD₁₆	—	4	8	no	—
280	SD₁₆	—	4	8	no	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	8	no	—
288	C₂×C₈	—	4	4	no	—
289	C₂×C₈	—	4	4	no	—
290	C₂×C₈	—	4	4	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	4	no	—
294	C₂×C₈	—	4	4	no	—
295	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
298	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
299	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
314	C₄²	—	4	2	no	—
315	C₄²	—	4	2	no	—
316	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
317	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
318	C₄²	#121	1	2	yes	—
319	C₄²	#121	1	2	yes	—
320	C₄²	#124	1	2	yes	—
321	C₄²	#127	1	2	yes	—
322	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
326	C₂³	—	2	2	no	—
327	C₂³	—	2	2	no	—
328	C₂³	—	2	2	no	—
329	C₂³	—	4	4	no	—
330	C₂³	—	4	4	no	—
331	C₂³	—	4	4	no	—
332	C₂³	—	4	2	no	—
333	C₂³	#390	1	2	yes	—
334	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
335	Q₈	—	4	2	no	—
336	Q₈	—	4	2	no	—
337	Q₈	—	4	4	no	—
338	Q₈	—	8	4	no	—
339	Q₈	—	8	4	no	—
340	D₄	—	4	2	no	—
341	D₄	—	4	2	no	—
342	D₄	—	4	4	no	—
343	D₄	—	8	4	no	—
344	D₄	—	8	4	no	—
345	D₄	—	8	8	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	8	4	no	—
364	C₂×C₄	—	8	4	no	—
365	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
377	C₈	—	2	2	no	—
378	C₈	—	2	2	no	—
379	C₈	—	2	2	no	—
380	C₈	—	2	2	no	—
381	C₈	—	4	4	no	—
382	C₈	—	4	4	no	—
383	C₈	—	8	2	no	—
384	C₈	—	8	2	no	—
385	C₂²	—	2	2	no	—
386	C₂²	—	2	2	no	—
387	C₂²	—	2	2	no	—
388	C₂²	—	4	4	no	—
389	C₂²	—	8	8	no	—
390	C₂²	—	8	2	no	—
391	C₂²	—	8	2	no	—
392	C₂²	—	8	2	no	—
393	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#2932	1	2	yes	—
395	C₂²	#2949	1	2	yes	—
396	C₂²	#2957	1	2	yes	—
397	C₄	—	2	2	no	—
398	C₄	—	2	2	no	—
399	C₄	—	2	1	no	—
400	C₄	—	2	1	no	—
401	C₄	—	2	2	no	—
402	C₄	—	8	2	no	—
403	C₄	—	8	2	no	—
404	C₄	—	8	2	no	—
405	C₄	#2879	1	1	yes	characteristic
406	C₄	#2879	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#2932	1	2	yes	—
408	C₄	#3057	1	2	yes	—
409	C₄	#3154	1	2	yes	—
410	C₂	—	4	2	no	—
411	C₂	—	16	2	no	—
412	C₂	#17990	1	4	yes	—
413	C₂	#21188	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#21231	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#21240	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#431 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21821	C₂	semidirect
4. C₂×#1568	C₂	semidirect
5. C₂×#1497	C₂	semidirect
7. C₂×#1452	C₂	semidirect
8. #9666	C₂	semidirect
9. #9661	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3167	2
#21821	2
#21789	2
C₂×#1568	2
C₂×#1497	2
C₂×#1496	2
C₂×#1452	2
#9666	2
#9661	2