Subgroups — #204326

Order 512.

1026 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3168	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21378	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1564	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1482	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9661	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9657	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9656	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#529	C₂²	1	2	yes	—
10	#3168	—	2	4	no	—
11	#3168	—	2	4	no	—
12	C₂×#499	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#495	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#488	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#467	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#466	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#465	C₄	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1984	C₂²	1	4	yes	—
26	#1954	C₂²	1	4	yes	—
27	#1870	—	2	4	no	—
28	#1750	—	2	4	no	—
29	#1564	—	2	4	no	—
30	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
32	#1482	—	2	8	no	—
33	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
35	C₈×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	#529	—	2	4	no	—
45	#529	—	2	4	no	—
46	#529	—	2	4	no	—
47	#529	—	2	4	no	—
48	C₂×#126	—	2	2	no	—
49	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×#123	—	2	2	no	—
52	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#117	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#499	—	2	4	no	—
60	#495	—	2	4	no	—
61	#488	—	2	8	no	—
62	#467	—	2	4	no	—
63	#466	—	2	4	no	—
64	#465	—	2	8	no	—
65	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
66	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
67	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
68	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
69	C₄×D₈	—	2	2	no	—
70	C₄×D₈	—	2	2	no	—
71	#431	—	2	2	no	—
72	#431	—	2	4	no	—
73	#431	—	2	4	no	—
74	#431	D₄	1	4	yes	—
75	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
87	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
88	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
89	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#336	—	2	8	no	—
100	#335	—	2	4	no	—
101	#334	—	2	4	no	—
102	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
103	D₄⋊C₈	—	2	8	no	—
104	#322	—	2	4	no	—
105	C₈²	—	2	4	no	—
106	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
113	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
117	C₂×D₈	—	2	2	no	—
118	C₂×D₈	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
125	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	#126	—	4	4	no	—
133	#126	—	4	4	no	—
134	#125	—	2	4	no	—
135	#125	—	2	4	no	—
136	#124	—	2	4	no	—
137	#124	—	2	4	no	—
138	#123	—	4	4	no	—
139	#123	—	4	4	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
142	#121	—	2	4	no	—
143	#121	—	2	4	no	—
144	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	C₄×D₄	—	2	2	no	—
150	C₄×D₄	—	2	2	no	—
151	C₄×D₄	—	2	2	no	—
152	C₄×D₄	—	4	4	no	—
153	C₄×D₄	—	4	4	no	—
154	#117	—	4	4	no	—
155	#117	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	#107	—	2	2	no	—
177	#107	—	2	2	no	—
178	#106	—	2	4	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
182	#103	—	2	4	no	—
183	#103	—	2	4	no	—
184	#102	—	2	4	no	—
185	#102	—	2	4	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
189	#97	—	2	4	no	—
190	C₄×C₈	—	2	2	no	—
191	C₄×C₈	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	—	2	2	no	—
193	C₄×C₈	—	4	4	no	—
194	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
195	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
196	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂⁴	—	2	2	no	—
202	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	8	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	Q₁₆	—	4	4	no	—
236	SD₁₆	—	4	8	no	—
237	D₈	—	4	4	no	—
238	M₁₆	—	2	16	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	8	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	—	4	4	no	—
248	C₂×C₈	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	4	8	no	—
250	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	#131	1	4	yes	—
255	C₂×C₈	#135	1	8	yes	—
256	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
274	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
275	C₄²	#121	1	2	yes	—
276	C₄²	#121	1	2	yes	—
277	C₄²	#124	1	2	yes	—
278	C₄²	#127	1	2	yes	—
279	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	4	4	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	#390	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
292	Q₈	—	4	2	no	—
293	Q₈	—	4	2	no	—
294	Q₈	—	4	4	no	—
295	D₄	—	4	2	no	—
296	D₄	—	4	2	no	—
297	D₄	—	4	4	no	—
298	D₄	—	8	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	4	no	—
318	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
330	C₈	—	2	2	no	—
331	C₈	—	2	2	no	—
332	C₈	—	2	2	no	—
333	C₈	—	2	8	no	—
334	C₈	—	4	4	no	—
335	C₈	—	8	4	no	—
336	C₈	#408	1	4	yes	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	8	8	no	—
342	C₂²	—	8	2	no	—
343	C₂²	—	8	2	no	—
344	C₂²	—	8	2	no	—
345	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#2935	1	2	yes	—
347	C₂²	C₄×#135	1	2	yes	—
348	C₂²	#2957	1	2	yes	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	1	no	—
352	C₄	—	2	1	no	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	8	2	no	—
355	C₄	—	8	2	no	—
356	C₄	—	8	2	no	—
357	C₄	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#2879	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#2935	1	2	yes	—
360	C₄	#3050	1	2	yes	—
361	C₄	#3147	1	2	yes	—
362	C₂	—	4	2	no	—
363	C₂	—	16	2	no	—
364	C₂	#18069	1	4	yes	—
365	C₂	#21189	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#21224	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#21240	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#466	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21378	C₂	semidirect
3. C₂×#1564	C₂	semidirect
4. C₂×#1482	C₂	semidirect
5. C₂×C₈×M₁₆	C₂	semidirect
6. #9661	C₂	semidirect
7. #9657	C₂	semidirect
8. #9656	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3168	2
#21378	2
C₂×#1564	2
C₂×#1482	2
C₂×C₈×M₁₆	2
#9661	2
#9657	2
#9656	2