Subgroups — #204347

Order 512.

1202 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 325 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21303	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1567	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1487	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×C₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9662	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9656	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂³×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
11	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
12	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#107	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#103	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1985	—	2	4	no	—
23	#1984	C₂²	1	8	yes	—
24	#1728	—	2	4	no	—
25	#1567	—	2	4	no	—
26	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
28	#1487	—	2	8	no	—
29	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
30	C₈×M₁₆	—	2	4	no	—
31	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
35	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
55	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
56	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
57	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
58	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
59	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
60	#431	—	2	2	no	—
61	#431	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×#107	—	2	4	no	—
63	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#423	—	2	4	no	—
66	#423	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×#103	—	2	8	no	—
71	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
74	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
75	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
76	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#336	—	2	16	no	—
86	#335	—	2	4	no	—
87	#335	—	2	4	no	—
88	Q₈⋊C₈	—	2	16	no	—
89	#322	—	2	4	no	—
90	C₈²	—	2	4	no	—
91	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
93	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
94	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
95	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
96	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
102	C₂×Q₁₆	—	2	32	no	—
103	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
104	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×Q₁₆	M₁₆	1	8	yes	complemented
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
112	C₂×M₁₆	Q₁₆	1	8	yes	complemented
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
117	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
125	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
126	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
127	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
128	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
129	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
130	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
131	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
132	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
133	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	#107	—	2	4	no	—
155	#107	—	2	4	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
160	#103	—	2	8	no	—
161	#103	—	2	8	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
163	#97	—	2	4	no	—
164	C₄×C₈	—	2	2	no	—
165	C₄×C₈	—	2	2	no	—
166	C₄×C₈	—	2	2	no	—
167	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
168	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
185	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	Q₁₆	—	2	16	no	—
210	Q₁₆	—	2	16	no	—
211	M₁₆	—	2	16	no	—
212	M₁₆	—	8	8	no	—
213	C₂×C₈	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	8	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	4	4	no	—
221	C₂×C₈	—	4	4	no	—
222	C₂×C₈	—	4	4	no	—
223	C₂×C₈	—	4	8	no	—
224	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
227	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
229	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	8	yes	complemented
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
236	C₄²	—	4	4	no	—
237	C₄²	—	4	4	no	—
238	C₄²	—	4	8	no	—
239	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
240	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
241	C₄²	#121	1	2	yes	—
242	C₄²	#121	1	2	yes	—
243	C₄²	#124	1	2	yes	—
244	C₄²	#127	1	2	yes	—
245	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	#390	1	2	yes	—
252	C₂³	C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
253	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
254	Q₈	—	2	8	no	—
255	Q₈	—	2	8	no	—
256	Q₈	—	4	16	no	—
257	Q₈	—	4	4	no	—
258	Q₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂×C₄	—	4	16	no	—
269	C₂×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂×C₄	—	4	8	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	8	8	no	—
274	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
278	C₂×C₄	#467	1	8	yes	—
279	C₂×C₄	#494	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	#495	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
291	C₈	—	2	2	no	—
292	C₈	—	2	2	no	—
293	C₈	—	2	2	no	—
294	C₈	—	2	8	no	—
295	C₈	—	4	4	no	—
296	C₈	—	8	4	no	—
297	C₈	#407	1	4	yes	—
298	C₂²	—	2	8	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	2	2	no	—
301	C₂²	#1969	1	4	yes	—
302	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
304	C₂²	C₂×C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
305	C₂²	#2957	1	2	yes	—
306	C₄	—	2	2	no	—
307	C₄	—	2	1	no	—
308	C₄	—	2	1	no	—
309	C₄	—	2	2	no	—
310	C₄	—	4	8	no	—
311	C₄	—	8	4	no	—
312	C₄	#1969	1	4	yes	—
313	C₄	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
314	C₄	#2879	1	1	yes	characteristic
315	C₄	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
316	C₄	C₂×#467	1	2	yes	—
317	C₄	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
318	C₄	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
319	C₂	—	2	4	no	—
320	C₂	M₁₆×Q₁₆	1	4	yes	—
321	C₂	#21190	1	1	yes	characteristic
322	C₂	C₂×#1969	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#21240	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₄×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #9662	C₂	semidirect
7. #9656	C₂	semidirect
107. C₂×Q₁₆	M₁₆	semidirect
112. C₂×M₁₆	Q₁₆	semidirect
229. C₂×C₈	C₂×Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Q₁₆	2
#21303	2
C₂×#1567	2
C₂×#1487	2
C₂×C₈×M₁₆	2
#9662	2
#9656	2