Subgroups — #204352

Order 512.

1494 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21190	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1566	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1486	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1451	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9665	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9659	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂³×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×D₈	—	2	4	no	—
11	C₂×C₄×D₈	—	2	4	no	—
12	C₂×C₄×D₈	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×D₈	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#107	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#102	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×#407	—	2	4	no	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1955	—	2	4	no	—
24	#1954	C₂²	1	8	yes	complemented
25	#1566	—	2	4	no	—
26	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#1486	—	2	8	no	—
29	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#1451	—	2	4	no	—
31	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
35	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
36	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
37	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₄×D₈	—	2	8	no	—
55	C₄×D₈	—	2	8	no	—
56	C₄×D₈	—	2	4	no	—
57	C₄×D₈	—	2	4	no	—
58	C₄×D₈	—	2	4	no	—
59	C₄×D₈	—	2	4	no	—
60	#431	—	2	2	no	—
61	#431	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×#107	—	2	4	no	—
63	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#423	—	2	4	no	—
66	#423	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×#102	—	2	8	no	—
71	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#407	—	4	16	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
76	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
77	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
78	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#334	—	2	4	no	—
88	#334	—	2	4	no	—
89	D₄⋊C₈	—	2	16	no	—
90	#322	—	2	4	no	—
91	#322	—	2	4	no	—
92	C₂⁵	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
98	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
104	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
105	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
109	C₂×D₈	—	2	32	no	—
110	C₂×D₈	—	2	8	no	—
111	C₂×D₈	—	2	4	no	—
112	C₂×D₈	—	2	4	no	—
113	C₂×D₈	—	2	4	no	—
114	C₂×D₈	M₁₆	1	8	yes	complemented
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
123	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₄×D₄	—	2	8	no	—
131	C₄×D₄	—	2	8	no	—
132	C₄×D₄	—	2	4	no	—
133	C₄×D₄	—	2	4	no	—
134	C₄×D₄	—	2	4	no	—
135	C₄×D₄	—	2	4	no	—
136	C₄×D₄	—	4	4	no	—
137	C₄×D₄	—	4	4	no	—
138	C₄×D₄	—	4	4	no	—
139	C₄×D₄	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	#107	—	2	4	no	—
157	#107	—	2	4	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
162	#102	—	2	8	no	—
163	#102	—	2	8	no	—
164	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
165	C₂²⋊C₈	—	4	32	no	—
166	#97	—	2	4	no	—
167	C₄×C₈	—	2	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
171	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
172	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂⁴	—	2	4	no	—
178	C₂⁴	—	4	8	no	—
179	C₂⁴	—	4	4	no	—
180	C₂⁴	—	4	8	no	—
181	C₂⁴	—	8	4	no	—
182	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×D₄	—	2	16	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	16	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	8	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
206	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
207	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
222	D₈	—	2	16	no	—
223	D₈	—	2	16	no	—
224	M₁₆	—	4	8	no	—
225	M₁₆	—	8	8	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	8	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	8	no	—
233	C₂×C₈	—	4	4	no	—
234	C₂×C₈	—	4	4	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	8	no	—
237	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
250	C₄²	#121	1	2	yes	—
251	C₄²	#121	1	2	yes	—
252	C₄²	#124	1	2	yes	—
253	C₄²	#127	1	2	yes	—
254	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	8	no	—
261	C₂³	—	4	16	no	—
262	C₂³	—	4	4	no	—
263	C₂³	—	4	8	no	—
264	C₂³	—	4	8	no	—
265	C₂³	—	4	4	no	—
266	C₂³	—	8	32	no	—
267	C₂³	—	8	8	no	—
268	C₂³	—	8	8	no	—
269	C₂³	#390	1	2	yes	—
270	C₂³	#442	1	4	yes	—
271	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
272	D₄	—	2	8	no	—
273	D₄	—	2	8	no	—
274	D₄	—	4	16	no	—
275	D₄	—	4	4	no	—
276	D₄	—	4	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	8	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	8	8	no	—
288	C₂×C₄	—	8	4	no	—
289	C₂×C₄	—	8	4	no	—
290	C₂×C₄	—	8	16	no	—
291	C₂×C₄	—	8	8	no	—
292	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#442	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	#469	1	8	yes	—
297	C₂×C₄	#496	1	8	yes	—
298	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
307	C₈	—	2	2	no	—
308	C₈	—	2	2	no	—
309	C₈	—	2	2	no	—
310	C₈	—	4	4	no	—
311	C₈	—	4	4	no	—
312	C₈	—	8	4	no	—
313	C₈	#407	1	4	yes	complemented
314	C₂²	—	2	8	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	4	16	no	—
318	C₂²	—	4	8	no	—
319	C₂²	—	8	32	no	—
320	C₂²	—	8	8	no	—
321	C₂²	—	8	4	no	—
322	C₂²	—	8	4	no	—
323	C₂²	#1972	1	4	yes	—
324	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
326	C₂²	C₂×#442	1	2	yes	—
327	C₂²	#2957	1	2	yes	—
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	2	1	no	—
330	C₄	—	2	1	no	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	8	4	no	—
333	C₄	#1972	1	4	yes	—
334	C₄	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
335	C₄	#2879	1	1	yes	characteristic
336	C₄	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
337	C₄	C₂×#469	1	2	yes	—
338	C₄	C₂×#496	1	2	yes	—
339	C₂	—	2	4	no	—
340	C₂	—	8	8	no	—
341	C₂	#18044	1	4	yes	—
342	C₂	#21190	1	1	yes	characteristic
343	C₂	C₂×#1972	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#21240	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂³×D₈	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21190	C₂	semidirect
3. C₂×#1566	C₂	semidirect
4. C₂×#1486	C₂	semidirect
5. C₂×#1451	C₂	semidirect
6. #9665	C₂	semidirect
7. #9659	C₂	semidirect
24. #1954	C₂²	semidirect
26. C₂×#334	C₂²	semidirect
27. C₂×#334	C₂²	semidirect
29. C₂×D₄⋊C₈	C₂²	semidirect
31. C₂×#322	C₂²	semidirect
32. C₂×#322	C₂²	semidirect
114. C₂×D₈	M₁₆	semidirect
313. C₈	#407	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×D₈	2
#21190	2
C₂×#1566	2
C₂×#1486	2
C₂×#1451	2
#9665	2
#9659	2