Subgroups — #204399

Order 512.

1178 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 425 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1984	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21187	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1570	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1480	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1487	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#1450	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9661	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#9655	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3103	—	2	4	no	—
13	#3103	—	2	4	no	—
14	C₂×#481	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#475	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×#460	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×#448	C₄	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#408	—	2	2	no	—
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1984	—	2	2	no	—
26	#1984	C₂²	1	2	yes	—
27	#1984	C₂²	1	2	yes	—
28	#1954	—	2	2	no	—
29	#1954	C₂²	1	2	yes	—
30	#1954	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#336	—	2	2	no	—
32	#1570	—	2	4	no	—
33	C₂×#334	C₂²	1	4	yes	—
34	#1487	—	2	4	no	—
35	#1480	—	2	4	no	—
36	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
38	#1450	—	2	4	no	—
39	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×#41	—	2	1	no	—
42	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
45	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
46	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
47	#532	—	2	2	no	—
48	#532	—	2	2	no	—
49	#532	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#124	—	2	1	no	—
54	C₂×#121	—	2	1	no	—
55	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#481	—	2	8	no	—
71	#475	—	2	8	no	—
72	#460	—	2	8	no	—
73	#448	—	2	8	no	—
74	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
75	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
76	#431	—	2	2	no	—
77	#431	D₄	1	4	yes	—
78	#431	D₄	1	4	yes	—
79	#431	D₄	1	4	yes	—
80	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	#423	—	2	2	no	—
82	#423	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	#408	—	4	8	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
105	#336	—	2	4	no	—
106	#336	—	2	4	no	—
107	#334	—	2	8	no	—
108	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
109	D₄⋊C₈	—	2	8	no	—
110	#322	—	2	4	no	—
111	C₈²	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	4	2	no	—
113	C₂×#41	—	4	2	no	—
114	C₂×#41	—	4	4	no	—
115	C₂×#41	—	4	4	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
122	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
133	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
145	C₂²×C₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	#127	—	2	2	no	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#124	—	4	2	no	—
154	#124	—	4	2	no	—
155	#121	—	2	4	no	—
156	#121	—	2	4	no	—
157	#121	—	4	2	no	—
158	#121	—	4	2	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
165	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
166	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
167	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
168	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
169	C₄×D₄	—	2	2	no	—
170	C₄×D₄	—	2	2	no	—
171	C₄×D₄	—	2	2	no	—
172	C₄×D₄	—	2	2	no	—
173	C₄×D₄	—	4	2	no	—
174	C₄×D₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
191	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	#106	—	2	8	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
205	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
206	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
207	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
208	#103	—	2	8	no	—
209	#102	—	2	8	no	—
210	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
212	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
213	C₂²⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
214	C₄×C₈	—	2	4	no	—
215	C₄×C₈	—	2	1	no	—
216	C₄×C₈	—	2	2	no	—
217	C₄×C₈	—	2	1	no	—
218	C₄×C₈	—	2	1	no	—
219	C₄×C₈	—	2	1	no	—
220	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
221	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
222	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
223	C₂⁴	—	2	2	no	—
224	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
225	#41	—	8	8	no	—
226	#41	—	8	4	no	—
227	#41	—	8	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
240	C₂×Q₈	#131	1	4	yes	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	—	2	4	no	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	8	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
280	SD₁₆	—	4	16	no	—
281	M₁₆	—	8	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	2	no	—
288	C₂×C₈	—	2	16	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	4	4	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	4	no	—
294	C₂×C₈	—	4	4	no	—
295	C₂×C₈	—	8	4	no	—
296	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
297	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
298	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
299	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₄²	—	4	2	no	—
312	C₄²	—	4	2	no	—
313	C₄²	—	4	4	no	—
314	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
315	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
316	C₄²	#121	1	2	yes	—
317	C₄²	#121	1	2	yes	—
318	C₄²	#124	1	2	yes	—
319	C₄²	#127	1	2	yes	—
320	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	—	2	1	no	—
325	C₂³	—	2	1	no	—
326	C₂³	—	2	2	no	—
327	C₂³	—	4	2	no	—
328	C₂³	—	4	2	no	—
329	C₂³	—	4	4	no	—
330	C₂³	—	4	4	no	—
331	C₂³	—	4	2	no	—
332	C₂³	#390	1	2	yes	—
333	C₂³	C₄×SD₁₆	1	4	yes	—
334	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
335	Q₈	—	2	4	no	—
336	Q₈	—	2	4	no	—
337	Q₈	—	4	8	no	—
338	Q₈	—	4	2	no	—
339	Q₈	—	4	2	no	—
340	Q₈	—	8	4	no	—
341	D₄	—	4	4	no	—
342	D₄	—	4	4	no	—
343	D₄	—	8	4	no	—
344	D₄	—	8	8	no	—
345	D₄	—	8	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	1	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	4	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	8	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	4	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	8	2	no	—
365	C₂×C₄	—	8	4	no	—
366	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	#465	1	8	yes	—
371	C₂×C₄	#492	1	4	yes	—
372	C₂×C₄	#495	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
383	C₈	—	2	8	no	—
384	C₈	—	2	4	no	—
385	C₈	—	2	4	no	—
386	C₈	—	4	4	no	—
387	C₈	—	8	2	no	—
388	C₈	—	8	2	no	—
389	C₂²	—	2	4	no	—
390	C₂²	—	2	2	no	—
391	C₂²	—	2	4	no	—
392	C₂²	—	2	2	no	—
393	C₂²	—	8	4	no	—
394	C₂²	—	8	2	no	—
395	C₂²	—	8	2	no	—
396	C₂²	—	8	4	no	—
397	C₂²	—	8	2	no	—
398	C₂²	#1968	1	4	yes	—
399	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	#2929	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	#2930	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	C₂×C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
403	C₂²	#2955	1	2	yes	—
404	C₄	—	2	2	no	—
405	C₄	—	2	1	no	—
406	C₄	—	2	1	no	—
407	C₄	—	2	2	no	—
408	C₄	—	4	4	no	—
409	C₄	—	8	2	no	—
410	C₄	—	8	2	no	—
411	C₄	#1968	1	4	yes	—
412	C₄	#2880	1	2	yes	—
413	C₄	#2933	1	2	yes	—
414	C₄	C₂×#465	1	2	yes	—
415	C₄	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
416	C₄	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
417	C₂	—	2	4	no	—
418	C₂	—	16	2	no	—
419	C₂	#17901	1	2	yes	—
420	C₂	#17929	1	2	yes	—
421	C₂	#21191	1	1	yes	characteristic
422	C₂	C₂×#1968	1	1	yes	characteristic
423	C₂	#21242	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1984	C₂	semidirect
4. C₂×#1570	C₂	semidirect
6. C₂×#1487	C₂	semidirect
7. C₂×#1450	C₂	semidirect
8. #9661	C₂	semidirect
9. #9655	C₂	semidirect
145. C₂²×C₈	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3103	2
C₂×#1984	2
#21187	2
C₂×#1570	2
C₂×#1480	2
C₂×#1487	2
C₂×#1450	2
#9661	2
#9655	2