Subgroups — #20441

Order 256.

569 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 178 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#405	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1771	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1770	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1729	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄⋊C₈	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	#405	—	2	8	no	—
19	C₄×M₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
20	C₂×#97	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	#384	C₄	1	2	yes	—
25	#382	C₄	1	2	yes	—
26	#380	C₄	1	2	yes	—
27	#380	C₄	1	2	yes	—
28	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	#336	C₂²	1	4	yes	—
31	#336	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
36	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
37	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
40	C₂×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
41	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
42	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
43	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	#117	—	2	4	no	—
49	#117	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	#97	—	2	8	no	—
65	#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	C₄×C₈	—	2	8	no	—
67	C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
73	C₂²×C₄	C₄²	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄	C₄²	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
76	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	M₁₆	—	2	8	no	—
89	M₁₆	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
90	C₂×C₈	—	2	16	no	—
91	C₂×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₂×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
103	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
104	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
105	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
106	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
107	C₄²	—	2	4	no	—
108	C₄²	—	2	4	no	—
109	C₄²	C₄²	1	4	yes	—
110	C₄²	C₄²	1	4	yes	—
111	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂³	—	2	2	no	—
116	C₂³	—	2	2	no	—
117	C₂³	C₂×C₄²	1	2	yes	—
118	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³	C₄×Q₈	1	2	yes	—
120	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄	—	4	4	no	—
129	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
130	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
131	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
132	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
133	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
134	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₄	#117	1	4	yes	—
136	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
139	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
140	C₂×C₄	#131	1	4	yes	—
141	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
147	C₈	—	2	4	no	—
148	C₈	—	2	4	no	—
149	C₈	—	2	4	no	—
150	C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
151	C₂²	—	2	2	no	—
152	C₂²	—	2	2	no	—
153	C₂²	—	2	4	no	—
154	C₂²	—	2	4	no	—
155	C₂²	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
156	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
157	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
159	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
160	C₂²	#568	1	2	yes	—
161	C₄	—	2	2	no	—
162	C₄	—	2	2	no	—
163	C₄	—	2	2	no	—
164	C₄	—	4	8	no	—
165	C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
166	C₄	#405	1	4	yes	complemented
167	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
169	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
171	C₂	—	2	4	no	—
172	C₂	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
174	C₂	#2873	1	1	yes	characteristic
175	C₂	#2935	1	2	yes	—
176	C₂	#2962	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #1771	C₂	semidirect
6. #1770	C₂	semidirect
7. C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
14. C₂×C₄⋊C₈	C₄	semidirect
19. C₄×M₁₆	C₄	semidirect
89. M₁₆	C₄⋊C₄	semidirect
166. C₄	#405	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊C₈	2
C₂×#405	2
C₂×C₄×M₁₆	2
#2285	2
#1771	2
#1770	2
C₈×C₄⋊C₄	2
#1729	2