Subgroups — #204600

Order 512.

1232 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 411 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1518	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1517	C₂	1	2	yes	maximal
5	#14689	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9681	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
10	#2862	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
11	#2862	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
12	#2861	—	2	1	no	—
13	#2861	—	2	1	no	—
14	#2858	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
15	#2858	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
16	#2850	—	2	2	no	—
17	#2850	C₂²	1	4	yes	—
18	C₄×#124	—	2	2	no	—
19	C₄×#124	C₄	1	4	yes	complemented
20	#2297	—	2	1	no	—
21	#2297	—	2	1	no	—
22	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
25	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
26	#1744	—	2	1	no	—
27	C₄²×C₈	—	2	1	no	—
28	#1518	—	2	8	no	—
29	#1517	—	2	8	no	—
30	C₂×#328	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂×#327	C₂²	1	8	yes	—
32	C₄⋊#95	—	2	1	no	—
33	C₄⋊#95	—	2	1	no	—
34	#1434	—	2	2	no	—
35	#1434	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂²×#41	—	2	1	no	—
37	#533	—	2	4	no	—
38	#533	—	2	4	no	—
39	#532	—	2	4	no	—
40	#532	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#125	—	2	1	no	—
46	C₂×#124	—	2	2	no	—
47	C₂×#124	—	2	1	no	—
48	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
50	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#121	—	2	1	no	—
52	C₂×#121	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×#117	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#431	—	2	4	no	—
65	#431	D₄	1	8	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
70	#391	—	2	2	no	—
71	#391	—	2	1	no	—
72	#391	—	2	1	no	—
73	#391	—	2	1	no	—
74	#391	—	2	1	no	—
75	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#390	—	2	2	no	—
77	#390	—	2	1	no	—
78	#390	—	2	1	no	—
79	#390	—	2	1	no	—
80	#390	—	2	1	no	—
81	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#388	—	2	4	no	—
83	#388	—	2	4	no	—
84	#388	—	2	4	no	—
85	#388	—	2	4	no	—
86	#386	—	2	4	no	—
87	#386	—	2	4	no	—
88	#382	—	2	2	no	—
89	#382	—	2	4	no	—
90	#382	—	2	4	no	—
91	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
94	C₂×#95	—	2	2	no	—
95	C₂×#95	—	2	4	no	—
96	C₂×#95	—	2	4	no	—
97	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
98	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₄³	D₄	1	2	yes	—
104	#336	—	2	4	no	—
105	#328	—	2	16	no	—
106	#327	—	2	16	no	—
107	C₂×#41	—	4	2	no	—
108	C₂×#41	—	4	2	no	—
109	C₂×#41	—	4	4	no	—
110	C₂×#41	—	4	4	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
129	#127	—	2	4	no	—
130	#125	—	4	4	no	—
131	#124	—	4	8	no	—
132	#124	—	4	8	no	—
133	#124	—	4	4	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
137	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
138	#121	—	2	4	no	—
139	#121	—	2	4	no	—
140	#121	—	4	2	no	—
141	#121	—	4	2	no	—
142	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
143	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
144	C₄×D₄	—	2	8	no	—
145	C₄×D₄	—	4	4	no	—
146	#117	—	4	2	no	—
147	#117	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
171	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
191	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
193	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
194	C₄×C₈	—	2	8	no	—
195	C₄×C₈	—	4	8	no	—
196	#95	—	2	4	no	—
197	#95	—	2	4	no	—
198	#95	—	2	4	no	—
199	#95	—	2	4	no	—
200	#95	—	2	4	no	—
201	#95	—	2	4	no	—
202	#95	—	4	8	no	—
203	#95	—	4	8	no	—
204	#95	—	4	4	no	—
205	C₂⁴	—	2	2	no	—
206	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	#41	—	8	8	no	—
208	#41	—	8	8	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	—	2	8	no	—
265	C₂×C₈	—	4	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	2	4	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	2	no	—
290	C₄²	—	2	2	no	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	2	4	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₄²	—	4	2	no	—
295	C₄²	—	4	2	no	—
296	C₄²	—	4	2	no	—
297	C₄²	—	4	4	no	—
298	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
299	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
300	C₄²	#121	1	4	yes	—
301	C₄²	#121	1	4	yes	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	4	4	no	—
305	C₂³	—	4	2	no	—
306	C₂³	—	4	2	no	—
307	C₂³	—	4	4	no	—
308	C₂³	—	4	2	no	—
309	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
311	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
312	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
313	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
314	Q₈	—	8	4	no	—
315	Q₈	—	8	4	no	—
316	Q₈	—	8	4	no	—
317	D₄	—	8	4	no	—
318	D₄	—	8	4	no	—
319	D₄	—	8	4	no	—
320	D₄	—	8	4	no	—
321	D₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	8	8	no	—
350	C₂×C₄	—	8	4	no	—
351	C₂×C₄	—	8	8	no	—
352	C₂×C₄	—	8	8	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	—	8	4	no	—
355	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#410	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	#416	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#416	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#416	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#416	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	#488	1	8	yes	—
366	C₂×C₄	#495	1	8	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
369	C₈	—	4	8	no	—
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	2	4	no	—
373	C₂²	—	2	4	no	—
374	C₂²	—	2	1	no	—
375	C₂²	—	2	1	no	—
376	C₂²	—	8	2	no	—
377	C₂²	—	8	4	no	—
378	C₂²	—	8	4	no	—
379	C₂²	—	8	2	no	—
380	C₂²	—	8	2	no	—
381	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	C₂×#410	1	2	yes	—
383	C₂²	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
386	C₂²	C₂×#488	1	2	yes	—
387	C₂²	C₂×#495	1	2	yes	—
388	C₄	—	2	2	no	—
389	C₄	—	2	2	no	—
390	C₄	—	2	4	no	—
391	C₄	—	2	4	no	—
392	C₄	—	2	2	no	—
393	C₄	—	2	2	no	—
394	C₄	—	4	2	no	—
395	C₄	—	4	2	no	—
396	C₄	—	8	2	no	—
397	C₄	—	8	2	no	—
398	C₄	—	8	2	no	—
399	C₄	—	16	4	no	—
400	C₄	#1958	1	4	yes	—
401	C₄	#1958	1	4	yes	—
402	C₂	—	2	2	no	—
403	C₂	—	2	2	no	—
404	C₂	—	16	2	no	—
405	C₂	#17571	1	2	yes	—
406	C₂	#17573	1	2	yes	—
407	C₂	C₂×#1958	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#21212	1	1	yes	characteristic
409	C₂	#21252	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₄×#431	C₂	semidirect
3. C₂×#1518	C₂	semidirect
5. #14689	C₂	semidirect
6. #9681	C₂	semidirect
10. #2862	C₄	semidirect
11. #2862	C₄	semidirect
14. #2858	C₄	semidirect
15. #2858	C₄	semidirect
19. C₄×#124	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36639	2
C₄×#431	2
C₂×#1518	2
C₂×#1517	2
#14689	2
#9681	2