Subgroups — #204608

Order 512.

1534 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 363 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20463	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1517	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#14689	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9684	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂×#532	—	2	1	no	—
7	C₂×#532	—	2	1	no	—
8	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
10	#2868	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
11	#2867	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
12	#2858	—	2	1	no	—
13	#2858	—	2	1	no	—
14	#2858	C₄	1	2	yes	complemented
15	#2856	—	2	2	no	—
16	#2856	C₂²	1	4	yes	—
17	C₄×#127	—	2	2	no	—
18	C₄×#127	C₄	1	4	yes	complemented
19	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1767	—	2	2	no	—
22	#1749	C₂²	1	4	yes	—
23	#1744	—	2	1	no	—
24	C₄×#97	—	2	1	no	—
25	#1517	—	2	16	no	—
26	C₂×#327	C₂²	1	16	yes	—
27	C₄⋊#95	—	2	1	no	—
28	C₄⋊#95	—	2	1	no	—
29	#1434	—	2	2	no	—
30	#1434	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂²×#41	—	2	2	no	—
32	#532	—	2	8	no	—
33	#532	—	2	8	no	—
34	#532	—	4	8	no	—
35	#532	—	4	8	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×#127	—	2	2	no	—
40	C₂×#127	—	2	1	no	—
41	C₂×#127	—	2	1	no	—
42	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×#124	—	2	2	no	—
45	C₂×#124	—	2	2	no	—
46	C₂×#124	—	2	2	no	—
47	C₂×#121	—	2	2	no	—
48	C₂×#121	—	2	4	no	—
49	C₂×#121	—	2	4	no	—
50	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#431	—	2	4	no	—
62	#431	D₄	1	8	yes	complemented
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×#97	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
67	#390	—	2	4	no	—
68	#390	—	2	4	no	—
69	#390	—	2	4	no	—
70	#390	—	2	4	no	—
71	#390	—	2	4	no	—
72	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	#384	—	2	2	no	—
74	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#382	—	2	8	no	—
76	C₂×#95	—	2	2	no	—
77	C₂×#95	—	2	4	no	—
78	C₂×#95	—	2	4	no	—
79	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
80	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₄³	D₄	1	2	yes	—
84	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
86	#336	—	2	4	no	—
87	#327	—	2	32	no	—
88	C₂×#41	—	4	4	no	—
89	C₂×#41	—	4	4	no	—
90	C₂×#41	—	4	8	no	—
91	C₂×#41	—	4	8	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
108	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
110	#127	—	2	8	no	—
111	#127	—	4	8	no	—
112	#127	—	4	8	no	—
113	#127	—	4	4	no	—
114	#127	—	4	4	no	—
115	#124	—	4	8	no	—
116	#124	—	4	8	no	—
117	#124	—	4	8	no	—
118	#121	—	2	8	no	—
119	#121	—	2	8	no	—
120	#121	—	4	16	no	—
121	#121	—	4	16	no	—
122	#121	—	4	4	no	—
123	#121	—	4	4	no	—
124	C₄×D₄	—	2	16	no	—
125	C₄×D₄	—	4	16	no	—
126	C₄×D₄	—	4	16	no	—
127	C₄×D₄	—	4	8	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
163	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
164	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
165	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
166	#97	—	4	8	no	—
167	C₄×C₈	—	2	8	no	—
168	#95	—	2	8	no	—
169	#95	—	4	8	no	—
170	#95	—	4	8	no	—
171	#95	—	4	4	no	—
172	C₂⁴	—	2	4	no	—
173	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
174	#41	—	8	16	no	—
175	#41	—	8	16	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	8	no	—
180	C₂×D₄	—	4	8	no	—
181	C₂×D₄	—	4	8	no	—
182	C₂×D₄	—	4	8	no	—
183	C₂×D₄	—	4	8	no	—
184	C₂×D₄	—	4	8	no	—
185	C₂×D₄	—	4	8	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	8	no	—
189	C₂×D₄	—	4	8	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
231	C₂×C₈	—	2	8	no	—
232	C₂×C₈	—	4	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
242	C₄²	—	2	4	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₄²	—	2	4	no	—
246	C₄²	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	4	2	no	—
253	C₄²	—	4	2	no	—
254	C₄²	—	4	2	no	—
255	C₄²	—	4	2	no	—
256	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
257	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
258	C₄²	#121	1	4	yes	—
259	C₄²	#121	1	4	yes	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	4	8	no	—
263	C₂³	—	4	4	no	—
264	C₂³	—	4	4	no	—
265	C₂³	—	4	8	no	—
266	C₂³	—	4	4	no	—
267	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
272	Q₈	—	8	8	no	—
273	D₄	—	8	8	no	—
274	D₄	—	8	8	no	—
275	D₄	—	8	16	no	—
276	D₄	—	8	16	no	—
277	D₄	—	8	8	no	—
278	D₄	—	8	8	no	—
279	D₄	—	8	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	8	16	no	—
304	C₂×C₄	—	8	4	no	—
305	C₂×C₄	—	8	8	no	—
306	C₂×C₄	—	8	8	no	—
307	C₂×C₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#410	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	#418	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#418	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#418	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#418	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#490	1	8	yes	—
320	C₂×C₄	#496	1	8	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
323	C₈	—	4	8	no	—
324	C₂²	—	2	1	no	—
325	C₂²	—	2	1	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	1	no	—
329	C₂²	—	2	1	no	—
330	C₂²	—	8	4	no	—
331	C₂²	—	8	8	no	—
332	C₂²	—	8	8	no	—
333	C₂²	—	8	4	no	—
334	C₂²	—	8	4	no	—
335	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#410	1	2	yes	—
337	C₂²	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂×#490	1	2	yes	—
341	C₂²	C₂×#496	1	2	yes	—
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	—	8	4	no	—
351	C₄	—	16	4	no	—
352	C₄	#1961	1	4	yes	—
353	C₄	#1961	1	4	yes	—
354	C₂	—	2	2	no	—
355	C₂	—	2	2	no	—
356	C₂	—	16	4	no	—
357	C₂	#17583	1	2	yes	—
358	C₂	#17589	1	2	yes	—
359	C₂	C₂×#1961	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#21212	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#21252	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	#36644	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20463	C₂	semidirect
3. C₂×#1517	C₂	semidirect
4. #14689	C₂	semidirect
5. #9684	C₂	semidirect
10. #2868	C₄	semidirect
11. #2867	C₄	semidirect
14. #2858	C₄	semidirect
18. C₄×#127	C₄	semidirect
62. #431	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36644	2
#20463	2
C₂×#1517	2
#14689	2
#9684	2