Subgroups — #204754

Order 512.

1570 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1842	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1540	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#9698	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#9695	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9692	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#532	—	2	2	no	—
9	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
12	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2858	—	2	2	no	—
16	#2858	C₂²	1	2	yes	—
17	#2856	—	2	1	no	—
18	#2856	—	2	1	no	—
19	#2856	C₄	1	4	yes	—
20	C₄×#127	—	2	1	no	—
21	C₄×#127	—	2	1	no	—
22	C₄×#127	C₄	1	4	yes	—
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1842	—	2	2	no	—
25	#1842	C₂²	1	2	yes	—
26	#1842	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
30	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
31	#1744	—	2	1	no	—
32	C₄²×C₈	—	2	1	no	—
33	#1540	—	2	16	no	—
34	C₂×#332	C₂²	1	8	yes	—
35	C₂×#331	C₂²	1	8	yes	—
36	C₂²×#41	—	2	2	no	—
37	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
38	#532	—	2	8	no	—
39	#532	—	2	8	no	—
40	#532	—	4	8	no	—
41	#532	—	4	8	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#127	—	2	1	no	—
45	C₂×#127	—	2	1	no	—
46	C₂×#127	—	2	2	no	—
47	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#124	—	2	2	no	—
50	C₂×#124	—	2	4	no	—
51	C₂×#121	—	2	4	no	—
52	C₂×#121	—	2	4	no	—
53	C₂×#121	—	2	2	no	—
54	C₂×#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#431	—	2	4	no	—
65	#431	D₄	1	8	yes	complemented
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
77	#390	—	2	4	no	—
78	#390	—	2	4	no	—
79	#390	—	2	4	no	—
80	#390	—	2	4	no	—
81	#390	—	2	2	no	—
82	#390	—	2	2	no	—
83	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	#384	—	2	1	no	—
85	#384	—	2	1	no	—
86	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₄³	D₄	1	2	yes	—
91	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#336	—	2	2	no	—
94	#336	—	2	2	no	—
95	#332	—	2	16	no	—
96	#331	—	2	16	no	—
97	C₂×#41	—	4	4	no	—
98	C₂×#41	—	4	4	no	—
99	C₂×#41	—	4	8	no	—
100	C₂×#41	—	4	8	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
122	#127	—	2	4	no	—
123	#127	—	2	4	no	—
124	#127	—	4	8	no	—
125	#127	—	4	4	no	—
126	#127	—	4	4	no	—
127	#127	—	4	4	no	—
128	#127	—	4	4	no	—
129	#124	—	4	4	no	—
130	#124	—	4	4	no	—
131	#124	—	4	8	no	—
132	#124	—	4	8	no	—
133	#121	—	2	16	no	—
134	#121	—	4	16	no	—
135	#121	—	4	16	no	—
136	#121	—	4	8	no	—
137	C₄×D₄	—	2	16	no	—
138	C₄×D₄	—	4	16	no	—
139	C₄×D₄	—	4	16	no	—
140	C₄×D₄	—	4	8	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	D₈	1	8	yes	—
159	C₂×C₄²	SD₁₆	1	8	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
176	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
177	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
178	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
179	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
180	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
181	C₄×C₈	—	2	8	no	—
182	C₄×C₈	—	4	4	no	—
183	C₄×C₈	—	4	4	no	—
184	C₂⁴	—	2	4	no	—
185	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
186	#41	—	8	16	no	—
187	#41	—	8	8	no	—
188	#41	—	8	8	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	8	no	—
194	C₂×D₄	—	4	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂×D₄	—	4	8	no	—
197	C₂×D₄	—	4	8	no	—
198	C₂×D₄	—	4	16	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	8	no	—
207	C₂×D₄	—	4	8	no	—
208	C₂×D₄	—	4	8	no	—
209	C₂×D₄	—	4	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
220	C₂²×C₄	#102	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	#102	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₈	—	2	8	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₂×C₈	—	4	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	8	no	—
243	C₂×C₈	—	8	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	4	2	no	—
259	C₄²	—	4	2	no	—
260	C₄²	—	4	2	no	—
261	C₄²	#102	1	8	yes	—
262	C₄²	#102	1	8	yes	—
263	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
264	C₄²	#121	1	4	yes	—
265	C₄²	#124	1	2	yes	—
266	C₄²	#127	1	2	yes	—
267	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
268	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
269	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
270	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
271	C₄²	#135	1	4	yes	—
272	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	1	no	—
276	C₂³	—	2	1	no	—
277	C₂³	—	4	8	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	#390	1	2	yes	—
283	C₂³	C₂×#102	1	4	yes	—
284	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
285	Q₈	—	8	4	no	—
286	Q₈	—	8	2	no	—
287	Q₈	—	8	2	no	—
288	D₄	—	8	8	no	—
289	D₄	—	8	16	no	—
290	D₄	—	8	16	no	—
291	D₄	—	8	16	no	—
292	D₄	—	8	4	no	—
293	D₄	—	8	2	no	—
294	D₄	—	8	2	no	—
295	D₄	—	8	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	16	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	8	16	no	—
313	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#413	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#486	1	8	yes	—
324	C₂×C₄	#492	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
334	C₈	—	4	8	no	—
335	C₈	—	8	4	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	—	8	8	no	—
342	C₂²	—	8	8	no	—
343	C₂²	—	8	4	no	—
344	C₂²	—	8	4	no	—
345	C₂²	#1957	1	4	yes	—
346	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×#413	1	2	yes	—
348	C₂²	C₂²×#102	1	2	yes	—
349	C₂²	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2896	1	1	yes	characteristic
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	2	4	no	—
353	C₄	—	2	4	no	—
354	C₄	—	2	4	no	—
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	8	4	no	—
358	C₄	#1540	1	8	yes	complemented
359	C₄	#1957	1	4	yes	—
360	C₄	#3035	1	4	yes	—
361	C₄	C₂×#486	1	2	yes	—
362	C₄	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
363	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
364	C₂	—	2	4	no	—
365	C₂	—	16	4	no	—
366	C₂	C₂×#1540	1	2	yes	—
367	C₂	#17704	1	2	yes	—
368	C₂	C₂×#1957	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#21218	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#21257	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	#36644	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1842	C₂	semidirect
3. C₄×#431	C₂	semidirect
4. C₂×#1540	C₂	semidirect
5. #9698	C₂	semidirect
6. #9695	C₂	semidirect
7. #9692	C₂	semidirect
65. #431	D₄	semidirect
358. C₄	#1540	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36644	2
C₂×#1842	2
C₄×#431	2
C₂×#1540	2
#9698	2
#9695	2
#9692	2