Subgroups — #204756

Order 512.

1496 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 349 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20808	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1543	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#9699	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#9695	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9691	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#532	C₄	1	4	yes	—
9	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
12	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2858	C₄	1	4	yes	—
15	#2858	C₂²	1	2	yes	—
16	#2856	—	2	2	no	—
17	#2856	—	2	1	no	—
18	#2856	—	2	1	no	—
19	C₄×#127	—	2	1	no	—
20	C₄×#127	—	2	1	no	—
21	C₄×#127	—	2	2	no	—
22	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1842	C₂²	1	2	yes	—
24	#1831	C₂²	1	2	yes	—
25	#1797	—	2	2	no	—
26	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
27	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
30	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
31	#1744	—	2	1	no	—
32	C₄²×C₈	—	2	1	no	—
33	#1543	—	2	16	no	—
34	C₂×#333	C₂²	1	8	yes	—
35	C₂×#331	C₂²	1	8	yes	—
36	C₂²×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	#532	—	2	8	no	—
38	#532	—	2	8	no	—
39	#532	—	4	16	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×#127	—	2	1	no	—
43	C₂×#127	—	2	1	no	—
44	C₂×#127	—	2	2	no	—
45	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×#124	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂×#121	—	2	4	no	—
50	C₂×#121	—	2	4	no	—
51	C₂×#121	—	2	2	no	—
52	C₂×#121	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#431	—	2	4	no	—
63	#431	—	2	8	no	—
64	#431	D₄	1	8	yes	complemented
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
74	#390	—	2	4	no	—
75	#390	—	2	4	no	—
76	#390	—	2	4	no	—
77	#390	—	2	4	no	—
78	#390	—	2	2	no	—
79	#390	—	2	4	no	—
80	#390	—	2	2	no	—
81	#384	—	2	1	no	—
82	#384	—	2	1	no	—
83	#384	—	2	2	no	—
84	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₄³	D₄	1	2	yes	—
88	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#336	—	2	4	no	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	#336	—	2	2	no	—
93	#333	—	2	16	no	—
94	#331	—	2	16	no	—
95	C₂×#41	—	2	16	no	—
96	C₂×#41	—	4	16	no	—
97	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
114	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
115	#127	—	2	4	no	—
116	#127	—	2	4	no	—
117	#127	—	4	8	no	—
118	#127	—	4	4	no	—
119	#127	—	4	4	no	—
120	#127	—	4	8	no	—
121	#124	—	2	16	no	—
122	#124	—	4	16	no	—
123	#121	—	4	16	no	—
124	#121	—	4	16	no	—
125	#121	—	4	8	no	—
126	#121	—	4	4	no	—
127	#121	—	4	4	no	—
128	C₄×D₄	—	4	16	no	—
129	C₄×D₄	—	4	16	no	—
130	C₄×D₄	—	4	8	no	—
131	C₄×D₄	—	4	4	no	—
132	C₄×D₄	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
167	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
168	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
169	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
170	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
171	C₄×C₈	—	2	8	no	—
172	C₄×C₈	—	4	4	no	—
173	C₄×C₈	—	4	4	no	—
174	C₄×C₈	—	4	4	no	—
175	C₂⁴	—	2	4	no	—
176	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
177	#41	—	8	32	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
180	C₂×D₄	—	2	8	no	—
181	C₂×D₄	—	4	8	no	—
182	C₂×D₄	—	4	8	no	—
183	C₂×D₄	—	4	8	no	—
184	C₂×D₄	—	4	16	no	—
185	C₂×D₄	—	4	8	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	8	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	8	no	—
194	C₂×D₄	—	4	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₈	—	2	8	no	—
224	C₂×C₈	—	4	4	no	—
225	C₂×C₈	—	4	4	no	—
226	C₂×C₈	—	4	4	no	—
227	C₂×C₈	—	4	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
237	C₄²	—	2	4	no	—
238	C₄²	—	2	2	no	—
239	C₄²	—	2	2	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	2	4	no	—
242	C₄²	—	2	4	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₄²	—	2	4	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	—	4	2	no	—
248	C₄²	#100	1	8	yes	—
249	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
250	C₄²	#121	1	4	yes	—
251	C₄²	#124	1	2	yes	—
252	C₄²	#127	1	2	yes	—
253	C₄²	#135	1	4	yes	—
254	C₄²	#135	1	8	yes	—
255	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	1	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	4	8	no	—
262	C₂³	—	4	4	no	—
263	C₂³	—	4	8	no	—
264	C₂³	—	4	4	no	—
265	C₂³	—	4	4	no	—
266	C₂³	#390	1	2	yes	—
267	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
268	Q₈	—	8	8	no	—
269	D₄	—	8	8	no	—
270	D₄	—	8	16	no	—
271	D₄	—	8	16	no	—
272	D₄	—	8	16	no	—
273	D₄	—	8	4	no	—
274	D₄	—	8	4	no	—
275	D₄	—	8	8	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	8	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	8	16	no	—
296	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
312	C₈	—	4	8	no	—
313	C₈	—	8	4	no	—
314	C₂²	—	2	2	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	4	2	no	—
318	C₂²	—	4	2	no	—
319	C₂²	—	8	4	no	—
320	C₂²	—	8	8	no	—
321	C₂²	—	8	8	no	—
322	C₂²	—	8	4	no	—
323	C₂²	—	8	4	no	—
324	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂²×#100	1	2	yes	—
326	C₂²	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#416	1	2	yes	—
328	C₂²	#2896	1	1	yes	characteristic
329	C₄	—	2	2	no	—
330	C₄	—	2	4	no	—
331	C₄	—	2	4	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	—	8	4	no	—
336	C₄	#1543	1	8	yes	complemented
337	C₄	#1965	1	4	yes	—
338	C₄	#3035	1	4	yes	—
339	C₄	#3131	1	2	yes	—
340	C₄	#3147	1	2	yes	—
341	C₂	—	4	2	no	—
342	C₂	—	16	4	no	—
343	C₂	C₂×#1543	1	2	yes	—
344	C₂	#17714	1	2	yes	—
345	C₂	#21195	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₂×#1965	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#21257	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	#36644	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20808	C₂	semidirect
3. C₄×#431	C₂	semidirect
4. C₂×#1543	C₂	semidirect
5. #9699	C₂	semidirect
6. #9695	C₂	semidirect
7. #9691	C₂	semidirect
64. #431	D₄	semidirect
336. C₄	#1543	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36644	2
#20808	2
C₄×#431	2
C₂×#1543	2
#9699	2
#9695	2
#9691	2