Subgroups — #204772

Order 512.

1220 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 427 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1842	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20463	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1542	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1540	C₂	1	2	yes	maximal
6	#9708	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9707	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9704	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9701	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
14	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	#2862	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2862	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2861	—	2	2	no	—
18	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2850	—	2	1	no	—
21	#2850	—	2	1	no	—
22	#2850	C₄	1	4	yes	—
23	C₄×#124	—	2	1	no	—
24	C₄×#124	—	2	1	no	—
25	C₄×#124	C₄	1	4	yes	—
26	#2297	—	2	2	no	—
27	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1842	—	2	2	no	—
29	#1842	C₂²	1	2	yes	—
30	#1842	C₂²	1	2	yes	—
31	#1767	C₂²	1	2	yes	—
32	#1767	C₂²	1	2	yes	—
33	#1749	—	2	1	no	—
34	#1749	—	2	1	no	—
35	#1744	—	2	1	no	—
36	C₄×#97	—	2	1	no	—
37	#1542	—	2	8	no	—
38	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	—
39	#1540	—	2	8	no	—
40	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
41	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
43	C₂²×#41	—	2	1	no	—
44	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
45	#533	—	2	4	no	—
46	#533	—	2	4	no	—
47	#532	—	2	4	no	—
48	#532	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#125	—	2	1	no	—
54	C₂×#124	—	2	1	no	—
55	C₂×#124	—	2	1	no	—
56	C₂×#124	—	2	1	no	—
57	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
59	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×#121	—	2	1	no	—
61	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#117	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#431	—	2	4	no	—
73	#431	D₄	1	8	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×#97	—	2	2	no	—
84	C₂×#97	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
86	#391	—	2	1	no	—
87	#391	—	2	1	no	—
88	#391	—	2	2	no	—
89	#391	—	2	2	no	—
90	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	#390	—	2	1	no	—
92	#390	—	2	1	no	—
93	#390	—	2	2	no	—
94	#390	—	2	2	no	—
95	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
96	#388	—	2	4	no	—
97	#388	—	2	4	no	—
98	#388	—	2	4	no	—
99	#388	—	2	4	no	—
100	#386	—	2	4	no	—
101	#386	—	2	4	no	—
102	#382	—	2	1	no	—
103	#382	—	2	1	no	—
104	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
105	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
106	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
107	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	C₄³	D₄	1	2	yes	—
109	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#336	—	2	2	no	—
114	#336	—	2	2	no	—
115	#333	—	2	8	no	—
116	#332	—	2	8	no	—
117	#332	—	2	8	no	—
118	#331	—	2	8	no	—
119	C₂×#41	—	4	2	no	—
120	C₂×#41	—	4	2	no	—
121	C₂×#41	—	4	4	no	—
122	C₂×#41	—	4	4	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
125	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
129	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
139	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	#127	—	2	2	no	—
147	#127	—	2	2	no	—
148	#125	—	4	2	no	—
149	#125	—	4	2	no	—
150	#124	—	4	4	no	—
151	#124	—	4	8	no	—
152	#124	—	4	2	no	—
153	#124	—	4	2	no	—
154	#124	—	4	4	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
157	#121	—	2	8	no	—
158	#121	—	4	4	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
160	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
161	C₄×D₄	—	2	8	no	—
162	C₄×D₄	—	4	4	no	—
163	#117	—	4	2	no	—
164	#117	—	4	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
185	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
209	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
210	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
211	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
212	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
213	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
214	#97	—	4	4	no	—
215	#97	—	4	4	no	—
216	C₄×C₈	—	2	8	no	—
217	#95	—	2	4	no	—
218	#95	—	2	4	no	—
219	#95	—	2	4	no	—
220	#95	—	2	4	no	—
221	C₂⁴	—	2	2	no	—
222	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
223	#41	—	8	8	no	—
224	#41	—	8	4	no	—
225	#41	—	8	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	4	no	—
238	C₂×D₄	—	4	8	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	1	no	—
241	C₂×D₄	—	4	1	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₈	—	2	8	no	—
277	C₂×C₈	—	4	4	no	—
278	C₂×C₈	—	4	4	no	—
279	C₂×C₈	—	4	4	no	—
280	C₂×C₈	—	4	8	no	—
281	C₂×C₈	—	8	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	2	2	no	—
303	C₄²	—	2	2	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	2	2	no	—
306	C₄²	—	2	4	no	—
307	C₄²	—	2	4	no	—
308	C₄²	—	2	4	no	—
309	C₄²	—	2	4	no	—
310	C₄²	—	2	4	no	—
311	C₄²	—	4	2	no	—
312	C₄²	—	4	2	no	—
313	C₄²	—	4	2	no	—
314	C₄²	—	4	4	no	—
315	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
316	C₄²	#121	1	4	yes	—
317	C₄²	#124	1	2	yes	—
318	C₄²	#127	1	2	yes	—
319	C₄²	#135	1	4	yes	—
320	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
321	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	—	2	1	no	—
324	C₂³	—	2	1	no	—
325	C₂³	—	4	4	no	—
326	C₂³	—	4	2	no	—
327	C₂³	—	4	4	no	—
328	C₂³	—	4	2	no	—
329	C₂³	—	4	2	no	—
330	C₂³	#390	1	2	yes	—
331	C₂³	#417	1	4	yes	—
332	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
333	Q₈	—	8	4	no	—
334	Q₈	—	8	2	no	—
335	Q₈	—	8	1	no	—
336	Q₈	—	8	1	no	—
337	Q₈	—	8	4	no	—
338	D₄	—	8	4	no	—
339	D₄	—	8	8	no	—
340	D₄	—	8	2	no	—
341	D₄	—	8	1	no	—
342	D₄	—	8	1	no	—
343	D₄	—	8	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	16	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	1	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	1	no	—
353	C₂×C₄	—	2	8	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	8	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	8	8	no	—
370	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#413	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	#489	1	8	yes	—
377	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
378	C₂×C₄	#497	1	4	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
387	C₈	—	4	8	no	—
388	C₈	—	8	4	no	—
389	C₂²	—	2	2	no	—
390	C₂²	—	2	4	no	—
391	C₂²	—	2	4	no	—
392	C₂²	—	2	2	no	—
393	C₂²	—	8	2	no	—
394	C₂²	—	8	4	no	—
395	C₂²	—	8	4	no	—
396	C₂²	—	8	2	no	—
397	C₂²	—	8	2	no	—
398	C₂²	#1959	1	4	yes	—
399	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	C₂×#413	1	2	yes	—
401	C₂²	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
403	C₂²	#2896	1	1	yes	characteristic
404	C₄	—	2	2	no	—
405	C₄	—	2	4	no	—
406	C₄	—	2	4	no	—
407	C₄	—	2	2	no	—
408	C₄	—	2	2	no	—
409	C₄	—	4	2	no	—
410	C₄	—	4	2	no	—
411	C₄	—	8	2	no	—
412	C₄	—	8	2	no	—
413	C₄	—	8	2	no	—
414	C₄	#1959	1	4	yes	—
415	C₄	#3035	1	4	yes	—
416	C₄	C₂×#489	1	2	yes	—
417	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
418	C₄	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
419	C₂	—	2	4	no	—
420	C₂	—	16	2	no	—
421	C₂	#17719	1	2	yes	—
422	C₂	#17737	1	2	yes	—
423	C₂	C₂×#1959	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#21218	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#21257	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1842	C₂	semidirect
3. #20463	C₂	semidirect
4. C₂×#1542	C₂	semidirect
6. #9708	C₂	semidirect
7. #9707	C₂	semidirect
8. #9704	C₂	semidirect
9. #9701	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36639	2
C₂×#1842	2
#20463	2
C₂×#1542	2
C₂×#1540	2
#9708	2
#9707	2
#9704	2
#9701	2