Subgroups — #204866

Order 512.

1496 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1557	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#9706	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#9703	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9698	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#532	—	2	2	no	—
9	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
13	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2858	—	2	2	no	—
16	#2858	C₂²	1	2	yes	—
17	#2856	—	2	1	no	—
18	#2856	—	2	1	no	—
19	#2856	C₄	1	4	yes	—
20	C₄×#127	—	2	1	no	—
21	C₄×#127	—	2	1	no	—
22	C₄×#127	C₄	1	4	yes	—
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1842	C₂²	1	2	yes	—
25	#1831	C₂²	1	2	yes	—
26	#1797	—	2	2	no	—
27	#1767	—	2	2	no	—
28	#1767	—	2	1	no	—
29	#1767	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
31	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
32	#1728	—	2	1	no	—
33	#1557	—	2	16	no	—
34	C₂×#332	C₂²	1	8	yes	—
35	C₂×#331	C₂²	1	8	yes	—
36	C₂²×#41	—	2	2	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
38	#532	—	2	8	no	—
39	#532	—	2	8	no	—
40	#532	—	4	16	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×#127	—	2	1	no	—
44	C₂×#127	—	2	1	no	—
45	C₂×#127	—	2	2	no	—
46	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#124	—	2	2	no	—
49	C₂×#124	—	2	4	no	—
50	C₂×#121	—	2	4	no	—
51	C₂×#121	—	2	4	no	—
52	C₂×#121	—	2	2	no	—
53	C₂×#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#432	—	2	8	no	—
64	#423	—	2	4	no	—
65	#423	D₄	1	8	yes	complemented
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
72	C₂×#97	—	2	2	no	—
73	C₂×#97	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
75	#390	—	2	4	no	—
76	#390	—	2	4	no	—
77	#390	—	2	4	no	—
78	#390	—	2	4	no	—
79	#390	—	2	2	no	—
80	#390	—	2	2	no	—
81	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
82	#384	—	2	1	no	—
83	#384	—	2	1	no	—
84	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₄³	D₄	1	2	yes	—
89	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#336	—	2	4	no	—
92	#336	—	2	2	no	—
93	#336	—	2	2	no	—
94	#332	—	2	16	no	—
95	#331	—	2	16	no	—
96	C₂×#41	—	4	16	no	—
97	C₂×#41	—	4	4	no	—
98	C₂×#41	—	4	4	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
113	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
120	#127	—	2	4	no	—
121	#127	—	2	4	no	—
122	#127	—	4	8	no	—
123	#127	—	4	4	no	—
124	#127	—	4	8	no	—
125	#127	—	4	2	no	—
126	#127	—	4	2	no	—
127	#124	—	4	4	no	—
128	#124	—	4	4	no	—
129	#124	—	4	16	no	—
130	#121	—	2	16	no	—
131	#121	—	4	16	no	—
132	#121	—	4	16	no	—
133	#121	—	4	8	no	—
134	C₄×D₄	—	2	16	no	—
135	C₄×D₄	—	4	16	no	—
136	C₄×D₄	—	4	16	no	—
137	C₄×D₄	—	4	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
174	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
175	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
176	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
177	#97	—	4	4	no	—
178	#97	—	4	4	no	—
179	C₄×C₈	—	4	4	no	—
180	C₂⁴	—	2	4	no	—
181	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
182	#41	—	8	16	no	—
183	#41	—	8	16	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	8	no	—
188	C₂×D₄	—	4	8	no	—
189	C₂×D₄	—	4	8	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	8	no	—
192	C₂×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	16	no	—
194	C₂×D₄	—	4	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	8	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	8	no	—
203	C₂×D₄	—	4	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	M₁₆	—	4	16	no	—
233	C₂×C₈	—	2	8	no	—
234	C₂×C₈	—	4	4	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
246	C₄²	—	2	1	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	2	1	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₄²	—	4	2	no	—
257	C₄²	—	4	2	no	—
258	C₄²	—	4	2	no	—
259	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
260	C₄²	#121	1	4	yes	—
261	C₄²	#124	1	2	yes	—
262	C₄²	#127	1	2	yes	—
263	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
264	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
265	C₄²	#137	1	2	yes	—
266	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
267	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	1	no	—
271	C₂³	—	2	1	no	—
272	C₂³	—	4	8	no	—
273	C₂³	—	4	8	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	4	no	—
277	C₂³	#390	1	2	yes	—
278	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
279	Q₈	—	8	4	no	—
280	Q₈	—	8	4	no	—
281	D₄	—	8	8	no	—
282	D₄	—	8	16	no	—
283	D₄	—	8	16	no	—
284	D₄	—	8	16	no	—
285	D₄	—	8	4	no	—
286	D₄	—	8	4	no	—
287	D₄	—	8	4	no	—
288	D₄	—	8	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	8	16	no	—
312	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#413	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
327	C₈	—	4	8	no	—
328	C₈	—	8	4	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	8	4	no	—
335	C₂²	—	8	8	no	—
336	C₂²	—	8	8	no	—
337	C₂²	—	8	4	no	—
338	C₂²	—	8	4	no	—
339	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂×#413	1	2	yes	—
341	C₂²	C₂×#418	1	2	yes	—
342	C₂²	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2896	1	1	yes	characteristic
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	2	4	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	8	4	no	—
353	C₄	#3036	1	2	yes	—
354	C₄	#3037	1	2	yes	—
355	C₄	#3138	1	2	yes	—
356	C₄	#3151	1	2	yes	—
357	C₂	—	4	2	no	—
358	C₂	—	16	4	no	—
359	C₂	#17731	1	2	yes	—
360	C₂	#17745	1	2	yes	—
361	C₂	#21203	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#21218	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#21258	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#36644	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20810	C₂	semidirect
3. C₄×#423	C₂	semidirect
4. C₂×#1557	C₂	semidirect
5. #9706	C₂	semidirect
6. #9703	C₂	semidirect
7. #9698	C₂	semidirect
65. #423	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36644	2
#20810	2
C₄×#423	2
C₂×#1557	2
#9706	2
#9703	2
#9698	2