Subgroups — #20491

Order 256.

623 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 232 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#435	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1771	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1767	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1753	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1749	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1749	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#435	C₄	1	16	yes	complemented
19	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
23	C₂×#97	—	2	4	no	—
24	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
33	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
35	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
36	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#336	C₂²	1	2	yes	—
40	#336	C₂²	1	2	yes	—
41	#336	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
50	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
53	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₄×D₄	—	2	8	no	—
58	C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
79	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
80	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
81	#97	—	2	4	no	—
82	#97	—	2	2	no	—
83	#97	—	2	2	no	—
84	#97	—	2	2	no	—
85	#97	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
86	#97	D₄	1	4	yes	complemented
87	C₄×C₈	—	2	4	no	—
88	C₄×C₈	—	2	4	no	—
89	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂×D₄	C₄²	1	4	yes	—
96	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
108	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	M₁₆	—	2	16	no	—
120	C₂×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂×C₈	—	2	16	no	—
127	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂×C₈	#41	1	4	yes	—
133	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
135	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂²⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
137	C₂²⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
138	C₂²⋊C₄	M₁₆	1	8	yes	complemented
139	C₄²	—	2	4	no	—
140	C₄²	—	2	4	no	—
141	C₄²	—	2	4	no	—
142	C₄²	—	2	1	no	—
143	C₄²	—	2	1	no	—
144	C₄²	—	2	2	no	—
145	C₄²	—	2	1	no	—
146	C₄²	—	2	1	no	—
147	C₄²	—	4	2	no	—
148	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₄²	#41	1	2	yes	—
151	C₂³	—	2	1	no	—
152	C₂³	—	2	1	no	—
153	C₂³	—	2	2	no	—
154	C₂³	—	2	1	no	—
155	C₂³	—	2	1	no	—
156	C₂³	—	2	2	no	—
157	C₂³	—	2	2	no	—
158	C₂³	C₂×C₄²	1	2	yes	—
159	C₂³	C₂×C₄²	1	2	yes	—
160	C₂³	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
161	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
162	D₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄	—	4	8	no	—
183	C₂×C₄	—	4	8	no	—
184	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
185	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
186	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
187	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
188	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
190	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
191	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
194	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
195	C₈	—	2	4	no	—
196	C₈	—	2	4	no	—
197	C₈	—	2	4	no	—
198	C₈	C₄×D₄	1	8	yes	complemented
199	C₂²	—	2	2	no	—
200	C₂²	—	2	4	no	—
201	C₂²	—	2	4	no	—
202	C₂²	—	2	2	no	—
203	C₂²	—	2	2	no	—
204	C₂²	—	2	2	no	—
205	C₂²	—	2	2	no	—
206	C₂²	—	4	2	no	—
207	C₂²	—	4	2	no	—
208	C₂²	C₄×M₁₆	1	4	yes	complemented
209	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
210	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
212	C₂²	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
213	C₂²	#568	1	2	yes	—
214	C₄	—	2	2	no	—
215	C₄	—	2	2	no	—
216	C₄	—	2	4	no	—
217	C₄	—	2	4	no	—
218	C₄	—	2	4	no	—
219	C₄	—	2	2	no	—
220	C₄	—	2	2	no	—
221	C₄	—	4	2	no	—
222	C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
223	C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
224	C₂	—	2	4	no	—
225	C₂	—	4	2	no	—
226	C₂	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
228	C₂	#2875	1	1	yes	characteristic
229	C₂	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
230	C₂	#2970	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×M₁₆	C₂	semidirect
3. C₂²×#97	C₂	semidirect
5. #1771	C₂	semidirect
6. #1767	C₂	semidirect
7. #1753	C₂	semidirect
8. C₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
9. #1749	C₂	semidirect
10. #1749	C₂	semidirect
11. C₄×#97	C₂	semidirect
18. #435	C₄	semidirect
49. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
52. C₂²×C₈	C₂×C₄	semidirect
78. C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
79. C₂²⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
80. C₂²⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
85. #97	C₂×C₄	semidirect
86. #97	D₄	semidirect
138. C₂²⋊C₄	M₁₆	semidirect
198. C₈	C₄×D₄	semidirect
208. C₂²	C₄×M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#435	2
C₂×C₄×M₁₆	2
C₂²×#97	2
C₄²×D₄	2
#1771	2
#1767	2
#1753	2
C₈×C₂²⋊C₄	2
#1749	2
C₄×#97	2