Subgroups — #204915

Order 512.

1310 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 420 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20793	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1550	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1545	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#9707	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#9704	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#424	—	2	2	no	—
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2858	C₂²	1	2	yes	—
18	#2858	C₂²	1	2	yes	—
19	#2641	—	2	2	no	—
20	#2548	—	2	2	no	—
21	#2548	C₄	1	4	yes	—
22	#2435	—	2	2	no	—
23	#2435	C₄	1	4	yes	—
24	#2309	—	2	2	no	—
25	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1843	—	2	2	no	—
27	#1842	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#1770	—	2	2	no	—
29	#1767	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#1752	—	2	2	no	—
31	#1550	—	2	4	no	—
32	#1545	—	2	4	no	—
33	#1542	—	2	4	no	—
34	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂×#331	—	2	4	no	—
39	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
41	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
42	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
43	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
45	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
46	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
47	#533	—	2	2	no	—
48	#533	—	2	2	no	—
49	#533	—	2	2	no	—
50	#533	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#127	—	2	2	no	—
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	—	2	1	no	—
56	C₂×#127	—	2	1	no	—
57	C₂×#127	—	2	2	no	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#125	—	2	1	no	—
62	C₂×#124	—	2	4	no	—
63	C₂×#124	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×#117	—	2	1	no	—
69	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#431	—	2	2	no	—
72	#431	D₄	1	4	yes	—
73	#424	—	4	8	no	—
74	#423	—	2	2	no	—
75	#423	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
89	C₂×#97	—	2	4	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
91	#394	—	2	8	no	—
92	#394	—	2	8	no	—
93	#390	—	2	8	no	—
94	#390	—	2	4	no	—
95	#390	—	2	4	no	—
96	#390	—	2	4	no	—
97	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
98	#379	—	2	8	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
103	#376	D₄	1	2	yes	—
104	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
105	#336	—	2	4	no	—
106	#333	—	2	4	no	—
107	#333	—	2	4	no	—
108	#332	—	2	4	no	—
109	#332	—	2	4	no	—
110	#331	—	2	8	no	—
111	#331	—	2	8	no	—
112	C₂⁵	—	2	2	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
128	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
131	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
153	#127	—	2	4	no	—
154	#127	—	2	4	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#127	—	2	2	no	—
157	#127	—	2	2	no	—
158	#127	—	2	2	no	—
159	#127	—	4	2	no	—
160	#127	—	4	2	no	—
161	#127	—	4	2	no	—
162	#127	—	4	2	no	—
163	#125	—	4	2	no	—
164	#125	—	4	2	no	—
165	#124	—	8	4	no	—
166	#124	—	8	4	no	—
167	#124	—	8	8	no	—
168	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
169	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
170	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
171	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
172	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
173	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
174	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
175	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
176	#117	—	2	4	no	—
177	#117	—	2	4	no	—
178	#117	—	4	2	no	—
179	#117	—	4	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
203	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
205	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
206	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
209	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
211	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
212	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
213	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
216	#97	—	8	4	no	—
217	C₄×C₈	—	2	4	no	—
218	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
219	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
220	C₂⁴	—	2	4	no	—
221	C₂⁴	—	4	4	no	—
222	C₂⁴	—	4	8	no	—
223	C₂⁴	—	8	4	no	—
224	C₂⁴	—	8	4	no	—
225	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	8	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	4	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	8	no	—
248	C₂×D₄	—	8	4	no	—
249	C₂×D₄	—	8	4	no	—
250	C₂×D₄	—	8	4	no	—
251	C₂×D₄	—	8	4	no	—
252	C₂×D₄	—	8	8	no	—
253	C₂×D₄	—	8	8	no	—
254	C₂×D₄	—	8	8	no	—
255	C₂×D₄	—	8	8	no	—
256	C₂×D₄	—	8	4	no	—
257	C₂×D₄	—	8	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	M₁₆	—	8	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	4	no	—
287	C₂×C₈	—	4	4	no	—
288	C₂×C₈	—	8	4	no	—
289	C₂×C₈	—	8	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
305	C₄²	—	2	4	no	—
306	C₄²	—	2	4	no	—
307	C₄²	—	2	4	no	—
308	C₄²	—	2	4	no	—
309	C₄²	—	4	4	no	—
310	C₄²	—	4	4	no	—
311	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
312	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
313	C₄²	#121	1	2	yes	—
314	C₄²	#121	1	2	yes	—
315	C₄²	#124	1	2	yes	—
316	C₄²	#127	1	2	yes	—
317	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	—	4	8	no	—
324	C₂³	—	4	8	no	—
325	C₂³	—	4	8	no	—
326	C₂³	—	4	4	no	—
327	C₂³	—	8	8	no	—
328	C₂³	—	8	8	no	—
329	C₂³	—	8	8	no	—
330	C₂³	—	16	16	no	—
331	C₂³	#390	1	2	yes	—
332	C₂³	#417	1	4	yes	—
333	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
334	Q₈	—	8	2	no	—
335	Q₈	—	8	2	no	—
336	Q₈	—	8	1	no	—
337	Q₈	—	8	1	no	—
338	Q₈	—	8	2	no	—
339	D₄	—	8	4	no	—
340	D₄	—	8	4	no	—
341	D₄	—	8	8	no	—
342	D₄	—	8	8	no	—
343	D₄	—	8	4	no	—
344	D₄	—	8	2	no	—
345	D₄	—	8	2	no	—
346	D₄	—	8	8	no	—
347	D₄	—	8	2	no	—
348	D₄	—	8	2	no	—
349	D₄	—	8	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	8	no	—
357	C₂×C₄	—	2	8	no	—
358	C₂×C₄	—	2	8	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	#489	1	8	yes	—
370	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
371	C₂×C₄	#497	1	4	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
382	C₈	—	4	4	no	—
383	C₈	—	4	4	no	—
384	C₈	—	8	2	no	—
385	C₈	—	8	2	no	—
386	C₂²	—	2	2	no	—
387	C₂²	—	2	8	no	—
388	C₂²	—	2	2	no	—
389	C₂²	—	8	4	no	—
390	C₂²	—	8	16	no	—
391	C₂²	—	8	4	no	—
392	C₂²	—	8	4	no	—
393	C₂²	—	16	16	no	—
394	C₂²	#1959	1	4	yes	—
395	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#2888	1	2	yes	—
397	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
398	C₂²	#2897	1	2	yes	—
399	C₄	—	2	2	no	—
400	C₄	—	2	1	no	—
401	C₄	—	2	1	no	—
402	C₄	—	2	2	no	—
403	C₄	—	4	8	no	—
404	C₄	—	8	2	no	—
405	C₄	—	8	2	no	—
406	C₄	#1959	1	4	yes	—
407	C₄	#3041	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#3043	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#3045	1	2	yes	—
410	C₄	C₂×#489	1	2	yes	—
411	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
412	C₄	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
413	C₂	—	2	4	no	—
414	C₂	—	16	4	no	—
415	C₂	#17762	1	4	yes	—
416	C₂	C₂×#1959	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#21219	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#21263	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20793	C₂	semidirect
3. #20547	C₂	semidirect
4. C₂×#1550	C₂	semidirect
6. C₂×#1542	C₂	semidirect
8. #9707	C₂	semidirect
9. #9704	C₂	semidirect
27. #1842	C₂²	semidirect
29. #1767	C₂²	semidirect
34. C₂×#333	C₂²	semidirect
35. C₂×#333	C₂²	semidirect
36. C₂×#332	C₂²	semidirect
37. C₂×#332	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35285	2
#20793	2
#20547	2
C₂×#1550	2
C₂×#1545	2
C₂×#1542	2
C₂²×#331	2
#9707	2
#9704	2