Subgroups — #20494

Order 256.

617 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 162 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#436	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×M₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1767	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1753	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1749	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
13	#436	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
16	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
17	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
24	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
26	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#336	C₂²	1	4	yes	—
29	#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
34	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
35	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
36	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
39	C₄×D₄	—	2	8	no	—
40	C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
55	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
56	#97	—	2	4	no	—
57	#97	—	2	4	no	—
58	#97	—	2	2	no	—
59	#97	D₄	1	4	yes	complemented
60	C₄×C₈	—	2	8	no	—
61	C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
62	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×D₄	—	2	4	no	—
66	C₂×D₄	C₄²	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
71	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
72	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
73	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
77	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	M₁₆	—	2	32	no	—
82	C₂×C₈	—	2	4	no	—
83	C₂×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₈	—	2	4	no	—
86	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
87	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
88	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	C₂×C₈	#41	1	4	yes	—
91	C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
92	C₄⋊C₄	M₁₆	1	8	yes	complemented
93	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
94	C₂²⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
95	C₄²	—	2	8	no	—
96	C₄²	—	2	4	no	—
97	C₄²	—	2	2	no	—
98	C₄²	—	2	2	no	—
99	C₄²	—	2	2	no	—
100	C₄²	—	4	2	no	—
101	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₄²	#41	1	2	yes	—
104	C₂³	—	2	2	no	—
105	C₂³	—	2	2	no	—
106	C₂³	—	2	4	no	—
107	C₂³	—	2	4	no	—
108	C₂³	C₂×C₄²	1	4	yes	—
109	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
110	D₄	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄	—	2	8	no	—
119	C₂×C₄	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄	—	4	16	no	—
124	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
125	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
126	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
127	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
129	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
130	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
133	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
134	C₈	—	2	8	no	—
135	C₈	—	2	4	no	—
136	C₈	C₄×D₄	1	8	yes	complemented
137	C₂²	—	2	4	no	—
138	C₂²	—	2	4	no	—
139	C₂²	—	2	4	no	—
140	C₂²	—	4	4	no	—
141	C₂²	—	4	4	no	—
142	C₂²	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
143	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
145	C₂²	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
146	C₂²	#568	1	2	yes	—
147	C₄	—	2	2	no	—
148	C₄	—	2	4	no	—
149	C₄	—	2	8	no	—
150	C₄	—	2	4	no	—
151	C₄	—	4	2	no	—
152	C₄	C₄×M₁₆	1	4	yes	complemented
153	C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
154	C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
155	C₂	—	4	4	no	—
156	C₂	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
158	C₂	#2875	1	1	yes	characteristic
159	C₂	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
160	C₂	#2971	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄²
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×M₁₆	C₂	semidirect
4. C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
5. #1767	C₂	semidirect
6. #1753	C₂	semidirect
7. #1749	C₂	semidirect
8. C₄×#97	C₂	semidirect
13. #436	C₄	semidirect
35. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
54. C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
55. C₂²⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
59. #97	D₄	semidirect
61. C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
92. C₄⋊C₄	M₁₆	semidirect
136. C₈	C₄×D₄	semidirect
152. C₄	C₄×M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#436	2
C₂×C₄×M₁₆	2
C₄²×D₄	2
C₈×C₄⋊C₄	2
#1767	2
#1753	2
#1749	2
C₄×#97	2