Subgroups — #205006

Order 512.

1550 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1505	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#13757	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9715	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂×#532	—	2	2	no	—
7	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
9	#2868	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
10	#2867	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
11	#2858	—	2	2	no	—
12	#2858	C₄	1	2	yes	complemented
13	#2856	—	2	1	no	—
14	#2856	—	2	1	no	—
15	#2856	C₂²	1	4	yes	—
16	C₄×#127	—	2	1	no	—
17	C₄×#127	—	2	1	no	—
18	C₄×#127	C₄	1	4	yes	complemented
19	C₂×#376	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1842	—	2	1	no	—
22	#1831	—	2	1	no	—
23	#1797	C₂²	1	4	yes	—
24	#1767	—	2	2	no	—
25	#1505	—	2	16	no	—
26	C₂×#327	C₂²	1	16	yes	—
27	#1434	—	2	2	no	—
28	#1434	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄×#95	—	2	1	no	—
30	C₄×#95	—	2	1	no	—
31	C₂²×#41	—	2	2	no	—
32	#532	—	2	8	no	—
33	#532	—	2	8	no	—
34	#532	—	4	16	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×#127	—	2	1	no	—
38	C₂×#127	—	2	1	no	—
39	C₂×#127	—	2	2	no	—
40	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×#124	—	2	4	no	—
43	C₂×#124	—	2	2	no	—
44	C₂×#121	—	2	2	no	—
45	C₂×#121	—	2	4	no	—
46	C₂×#121	—	2	4	no	—
47	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#432	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×#97	—	2	2	no	—
63	#390	—	2	2	no	—
64	#390	—	2	2	no	—
65	#390	—	2	4	no	—
66	#390	—	2	4	no	—
67	#390	—	2	4	no	—
68	#390	—	2	4	no	—
69	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	#384	—	2	1	no	—
71	#384	—	2	1	no	—
72	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#376	—	2	4	no	—
74	#376	D₄	1	8	yes	complemented
75	C₂×#95	—	2	2	no	—
76	C₂×#95	—	2	4	no	—
77	C₂×#95	—	2	4	no	—
78	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
79	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₄³	D₄	1	2	yes	—
85	#336	—	2	4	no	—
86	#327	—	2	32	no	—
87	C₂×#41	—	4	16	no	—
88	C₂×#41	—	4	8	no	—
89	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
105	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
106	#127	—	2	8	no	—
107	#127	—	4	8	no	—
108	#127	—	4	4	no	—
109	#127	—	4	4	no	—
110	#127	—	4	8	no	—
111	#124	—	4	16	no	—
112	#124	—	4	4	no	—
113	#124	—	4	4	no	—
114	#121	—	2	8	no	—
115	#121	—	2	8	no	—
116	#121	—	4	16	no	—
117	#121	—	4	8	no	—
118	#121	—	4	16	no	—
119	C₄×D₄	—	2	16	no	—
120	C₄×D₄	—	4	16	no	—
121	C₄×D₄	—	4	16	no	—
122	C₄×D₄	—	4	4	no	—
123	C₄×D₄	—	4	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
137	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
159	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
160	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
162	#97	—	4	4	no	—
163	#95	—	2	8	no	—
164	#95	—	2	4	no	—
165	#95	—	4	8	no	—
166	#95	—	4	8	no	—
167	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
168	C₂⁴	—	2	4	no	—
169	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
170	#41	—	8	32	no	—
171	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
172	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
173	C₂×D₄	—	2	8	no	—
174	C₂×D₄	—	4	8	no	—
175	C₂×D₄	—	4	8	no	—
176	C₂×D₄	—	4	8	no	—
177	C₂×D₄	—	4	8	no	—
178	C₂×D₄	—	4	8	no	—
179	C₂×D₄	—	4	8	no	—
180	C₂×D₄	—	4	8	no	—
181	C₂×D₄	—	4	16	no	—
182	C₂×D₄	—	4	4	no	—
183	C₂×D₄	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	—	4	8	no	—
185	C₂×D₄	—	4	8	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	—	4	8	no	—
221	C₂×C₈	—	4	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
231	C₄²	—	2	4	no	—
232	C₄²	—	2	4	no	—
233	C₄²	—	2	4	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	2	4	no	—
236	C₄²	—	2	4	no	—
237	C₄²	—	2	2	no	—
238	C₄²	—	2	2	no	—
239	C₄²	—	2	2	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	4	2	no	—
242	C₄²	—	4	2	no	—
243	C₄²	—	4	2	no	—
244	C₄²	—	4	2	no	—
245	C₄²	—	4	16	no	—
246	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
247	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
248	C₄²	#124	1	2	yes	—
249	C₄²	#124	1	2	yes	—
250	C₄²	#127	1	2	yes	—
251	C₄²	#127	1	2	yes	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	1	no	—
254	C₂³	—	2	1	no	—
255	C₂³	—	4	8	no	—
256	C₂³	—	4	8	no	—
257	C₂³	—	4	4	no	—
258	C₂³	—	4	4	no	—
259	C₂³	—	4	4	no	—
260	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
262	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
263	Q₈	—	8	8	no	—
264	D₄	—	8	8	no	—
265	D₄	—	8	16	no	—
266	D₄	—	8	16	no	—
267	D₄	—	8	8	no	—
268	D₄	—	8	16	no	—
269	D₄	—	8	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	8	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	8	16	no	—
297	C₂×C₄	—	8	8	no	—
298	C₂×C₄	—	8	8	no	—
299	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#410	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	#421	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#421	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
311	C₈	—	8	4	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	2	2	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	8	4	no	—
317	C₂²	—	8	8	no	—
318	C₂²	—	8	8	no	—
319	C₂²	—	8	4	no	—
320	C₂²	—	8	4	no	—
321	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×#410	1	2	yes	—
323	C₂²	C₂×#418	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂×#421	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×#421	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#3038	1	4	yes	—
327	C₄	—	2	2	no	—
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	2	4	no	—
331	C₄	—	2	4	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	2	1	no	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	1	no	—
336	C₄	—	4	2	no	—
337	C₄	—	8	8	no	—
338	C₄	—	8	4	no	—
339	C₄	#1963	1	4	yes	—
340	C₂	—	2	4	no	—
341	C₂	—	16	4	no	—
342	C₂	#17589	1	2	yes	—
343	C₂	#17595	1	2	yes	—
344	C₂	C₂×#1963	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#21212	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#21260	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	#36644	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20810	C₂	semidirect
3. C₂×#1505	C₂	semidirect
4. #13757	C₂	semidirect
5. #9715	C₂	semidirect
9. #2868	C₄	semidirect
10. #2867	C₄	semidirect
12. #2858	C₄	semidirect
18. C₄×#127	C₄	semidirect
74. #376	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36644	2
#20810	2
C₂×#1505	2
#13757	2
#9715	2