Subgroups — #205069

Order 512.

984 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21306	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20816	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17575	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1451	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9720	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
8	#3170	—	2	1	no	—
9	#3170	—	2	1	no	—
10	#3170	—	2	1	no	—
11	#3170	—	2	1	no	—
12	#3170	C₄	1	4	yes	complemented
13	#3170	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#500	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂×#494	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₂×#487	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂×#467	—	2	2	no	—
18	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
19	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2285	C₂²	1	2	yes	—
23	#1986	—	2	4	no	—
24	#1986	C₂²	1	8	yes	—
25	#1844	—	2	1	no	—
26	#1834	—	2	1	no	—
27	#1807	—	2	2	no	—
28	C₄×#106	C₂²	1	4	yes	—
29	#1733	—	2	4	no	—
30	#1520	—	2	4	no	—
31	#1518	—	2	4	no	—
32	#1503	C₂²	1	8	yes	—
33	#1451	—	2	2	no	—
34	#1451	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#322	—	2	1	no	—
36	C₂×#322	—	2	1	no	—
37	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
40	#533	—	2	2	no	—
41	#533	—	2	2	no	—
42	#533	—	2	2	no	—
43	#533	—	2	2	no	—
44	#533	—	2	2	no	—
45	#533	—	2	2	no	—
46	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	#533	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×#125	—	2	2	no	—
51	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×#117	—	2	2	no	—
56	C₂×#117	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#500	—	2	1	no	—
59	#500	—	2	1	no	—
60	#500	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	#494	—	2	1	no	—
62	#494	—	2	1	no	—
63	#494	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#487	—	2	2	no	—
65	#487	—	2	2	no	—
66	#487	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	#467	—	2	4	no	—
68	#467	—	2	4	no	—
69	#467	—	2	4	no	—
70	#467	—	2	4	no	—
71	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
72	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
73	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
74	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
75	#431	—	2	1	no	—
76	#431	—	2	1	no	—
77	#431	D₄	1	2	yes	—
78	#431	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#107	—	2	2	no	—
80	C₂×#106	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
82	C₂×#103	—	2	4	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
84	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
85	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
86	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
87	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#97	—	2	1	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	#384	—	2	2	no	—
101	#382	—	2	2	no	—
102	#380	—	2	2	no	—
103	#380	—	2	2	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	#340	—	2	4	no	—
107	#339	—	2	16	no	—
108	#328	—	2	16	no	—
109	#322	—	2	4	no	—
110	#322	—	2	4	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
121	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
125	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	#125	—	2	4	no	—
140	#125	—	2	4	no	—
141	#125	—	4	2	no	—
142	#125	—	4	2	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
156	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
157	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
159	#117	—	2	4	no	—
160	#117	—	2	4	no	—
161	#117	—	4	2	no	—
162	#117	—	4	2	no	—
163	#117	—	4	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	#107	—	2	4	no	—
190	#107	—	2	4	no	—
191	#106	—	4	8	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
194	#103	—	2	8	no	—
195	#103	—	2	8	no	—
196	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	#97	—	2	2	no	—
199	#97	—	2	2	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	C₄×C₈	—	2	2	no	—
202	C₄×C₈	—	2	2	no	—
203	C₄×C₈	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
211	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
212	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	#95	—	2	4	no	—
215	#95	—	4	2	no	—
216	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
217	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	#137	1	8	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	Q₁₆	—	4	8	no	—
248	Q₁₆	—	4	8	no	—
249	M₁₆	—	2	8	no	—
250	M₁₆	—	4	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
283	C₄²	—	4	4	no	—
284	C₄²	—	4	4	no	—
285	C₄²	—	4	8	no	—
286	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
293	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
294	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
295	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
296	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
297	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
299	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
301	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	—	4	1	no	—
303	C₂³	—	4	1	no	—
304	C₂³	#390	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	#390	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	#497	1	4	yes	—
307	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	4	8	no	—
309	Q₈	—	8	4	no	—
310	Q₈	—	8	4	no	—
311	Q₈	—	8	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	1	no	—
319	C₂×C₄	—	4	1	no	—
320	C₂×C₄	—	4	1	no	—
321	C₂×C₄	—	4	1	no	—
322	C₂×C₄	—	4	1	no	—
323	C₂×C₄	—	4	1	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	4	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#441	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	#441	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	#470	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#470	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	#497	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
349	C₈	—	2	2	no	—
350	C₈	—	2	2	no	—
351	C₈	—	2	2	no	—
352	C₈	—	4	4	no	—
353	C₈	—	4	4	no	—
354	C₈	#421	1	4	yes	—
355	C₂²	—	2	1	no	—
356	C₂²	—	2	1	no	—
357	C₂²	—	2	1	no	—
358	C₂²	—	2	1	no	—
359	C₂²	—	2	1	no	—
360	C₂²	—	2	1	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	#1971	1	2	yes	—
363	C₂²	#1971	1	2	yes	—
364	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂×#497	1	2	yes	—
366	C₄	—	2	1	no	—
367	C₄	—	2	1	no	—
368	C₄	—	2	1	no	—
369	C₄	—	2	1	no	—
370	C₄	—	2	1	no	—
371	C₄	—	2	1	no	—
372	C₄	—	8	4	no	—
373	C₄	—	8	4	no	—
374	C₄	—	16	4	no	—
375	C₄	#1971	1	2	yes	—
376	C₄	#1971	1	2	yes	—
377	C₄	#1976	1	2	yes	—
378	C₄	C₂×#421	1	2	yes	—
379	C₄	C₂×#441	1	2	yes	—
380	C₄	C₂×#470	1	2	yes	—
381	C₂	—	2	2	no	—
382	C₂	—	2	2	no	—
383	C₂	—	2	2	no	—
384	C₂	C₂×#1971	1	1	yes	characteristic
385	C₂	C₂×#1976	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#21252	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#390
prime radical	C₂⁴	#127
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #9720	C₂	semidirect
12. #3170	C₄	semidirect
14. C₂×#500	C₄	semidirect
15. C₂×#494	C₄	semidirect
16. C₂×#487	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3170	2
#21306	2
#20816	2
#17575	2
C₂×#1451	2
#9720	2